01经典背包

最新推荐文章于 2025-08-10 21:28:09 发布

原创最新推荐文章于 2025-08-10 21:28:09 发布 · 273 阅读

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本文详细介绍了动态规划的概念，通过一个典型的背包问题实例，解释了如何使用动态规划解决问题。重点阐述了状态转移方程的建立过程及优化方法，包括滚动数组的应用，最终提供了高效求解背包问题的算法实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

早就想好好学下dp，因为之前一直对它很敬畏，虽然对我以后的工作应该没什么用，但是感觉dp已然成为我的

一个心病了，所以趁着现在，还算比较空吧，好好学习下算法。

其实到现在我也还是不怎么明白什么状态转移，以后只能靠多做几道题目来感受了，我就先把现在所想的记下来。

有n个物品，背包容量是m，每个物品对应重量wi,价值vi，求背包在容量内所能装的最大价值。

我第一个感觉就是穷举，每个背包都有两个选择，要或者不要，那么这样的算法复杂度就是2^n。

算法书上的解法是这样的（我现在还没想好怎么想到这一步）：

开一个数组value[n][m]，value（i，j）表示对是否选择第i个物品做决策，使在j重量下所能达到的最大value值。

那么建立的条件就是保证上一次value（i-1,j-wi）所取得的值也是最大的，这里只需要做n次决策，遍历m的范围，

因此算法复杂度为O（nm）,得到

传说中的状态转移方程 value(i,j)=max{value[i-1][j],value[i-1][j-wi]+vi}j>=wi

for(i = 0; i <= m; i++)
	value[0][i]=0;
for(i = 1; i <= n; i++)
{
	cin>>w>>v;
	for(j = 1; j <= m; j++)
	{
		if(j >= w)
			value[i][j] = value[i-1][j]>value[i-1][j-w] + v ?
			value[i-1][j] : value[i-1][j-w]+v;
		else value[i][j] = value[i-1][j];
	}
}
cout<<value[n][m]<<endl;

观察代码可知，此次的决策只与前一次有关，因此可以用滚动数组，从后往前推，这样保证了value[j]保存的是

上一次的value[j].

memset(value,0,sizeof(value));
		for(i = 1; i <= n; i++)
		{
			cin>>w>>v;
			for(j = m; j >= 0; j--)
			{
				if(j >= w)
					value[j] = value[j] > value[j-w] + v?
					value[j]:value[j-w] + v;
			}
		}
		cout<<value[m]<<endl;