120. Triangle (M)

原创于 2019-09-10 10:01:06 发布 · 171 阅读

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#动态规划

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本文探讨了如何在给定的三角形矩阵中找到从顶部到底部的最小路径之和，通过动态规划方法解决了该问题，并提供了两种实现方式：一种使用二维数组，另一种则采用滚动数组优化空间复杂度。

Triangle (M)

Given a triangle, find the minimum path sum from top to bottom. Each step you may move to adjacent numbers on the row below.

For example, given the following triangle

[
     [2],
    [3,4],
   [6,5,7],
  [4,1,8,3]
]

The minimum path sum from top to bottom is 11 (i.e., 2 + 3 + 5 + 1 = 11).

Note:

Bonus point if you are able to do this using only O(n) extra space, where n is the total number of rows in the triangle.

题意

给定一个三角形矩阵，求出从上到下的最小路径之和。

思路

回溯法因为有大量的重复计算会超时。

动态规划：dp[i][j]代表从上到下走到(i, j)时的最小路径和，很容易看出：
$dp[i][j]=triangle[i][j]+min(dp[i-1][j-1],\ dp[i-1][j])$

对于空间复杂度 $O (N)$ 的要求，可以使用滚动数组进行优化，这时候需要从最底层往最高层走，同样有公式：
$dp[j]=triangle[i][j]+min(dp[j],\ dp[j+1])$
(实际操作中未使用滚动数组优化的动态规划也可以从下往上走，这样走到顶时得到的和就是最小路径和。)

代码实现 - 动态规划

class Solution {
    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
        int[][] dp = new int[triangle.size()][triangle.size()];
        
        for (int i = triangle.size() - 1; i >= 0; i--) {
            for (int j = 0; j < triangle.get(i).size(); j++) {
                int curNum = triangle.get(i).get(j);

                if (i == triangle.size() - 1) {
                    dp[i][j] = curNum;
                    continue;
                }

                dp[i][j] = curNum + Math.min(dp[i + 1][j], dp[i + 1][j + 1]);
            }
        }
        
        return dp[0][0];
    }
}

代码实现 - 滚动数组优化

class Solution {
    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
        int[] dp = new int[triangle.size()];
        
        for (int i = triangle.size() - 1; i >= 0; i--) {
            for (int j = 0; j < triangle.get(i).size(); j++) {
                int curNum = triangle.get(i).get(j);

                if (i == triangle.size() - 1) {
                    dp[j] = curNum;
                    continue;
                }

                dp[j] = curNum + Math.min(dp[j], dp[j + 1]);
            }
        }
        
        return dp[0];
    }
}