FM和FFM的知识总结（特征组合、公式化简、FM与FFM之间的联系与区别）

FM

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参考链接：

点击率预估算法：FM与FFM

读论文:FFM

FM–2010–论文

FFM–2014–论文

FM在特征组合中的应用

FFM原理及公式推导

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是2010年Stedden Rendle提出的，目的是解决稀疏数据的特征组合问题。

逻辑回归

公式1
$$y=w_0+\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i$$
$w_0,w_i$ 是参数，$n$表示数据总量，$x_i$表示某条数据。

二阶多项式模型（Poly2模型）

公式2
$$\hat{y}(\mathbf{x})=w_0+\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i+\sum _{i=1}^n\sum _{j=i+1}^n{w}_{ij}{x}_i{x}_j$$
一次项有$n+1$个，二次项（即组合特征的参数）共有
$\frac{d(d-1)}{2}$，而参数与参数之间彼此独立，在稀疏场景下，二次项的训练是很困难的。因为要训练$w_{ij}$,需要大量的$x_i$ 和$x_j$都非0的样本（只有非0组合才有意义）。而样本本身是稀疏的，满$x_i{x}_j̸=0$的样本会非常少，那么样本少就难以估计参数$w_{ij}$，训练出来的模型容易过拟合。

为了缓解上述问题，Rendle在2010提出了FM模型，它可以缓解公式2，特定如下：

• FM模型可以在非常稀疏的情况下进行参数估计
• FM模型是线性时间复杂度的，可以直接使用原问题进行求解，而且不用像SVM一样依赖支持向量。
• FM模型是一个通用的模型，其训练数据的特征取值可以是任意实数。
  ###对参数$W_{ij}$进行分解

公式3
$$\hat{y}(\mathbf{x})=w_0+\sum _{i=1}^d{w}_i{x}_i+\sum _{i=1}^d\sum _{j=i+1}^d\left({\mathbf{v}}_i\cdot {\mathbf{v}}_j\right)x_i{x}_j$$
其中$v_i$是第$i$维特征的隐向量,其长度为$k(k<<n)$ , $\left({\mathbf{v}}_i\cdot {\mathbf{v}}_j\right)$ 为内积，其乘积为原来$w_{ij}$, 也就是
${\hat{w}}_{ij}=\left({\mathbf{v}}_i\cdot {\mathbf{v}}_j\right)={\sum }_{f=1}^k{v}_{i,f}\cdot v_{j,f}$。

将$w_{ij}$进行分解，使得不同的特征对不再是完全独立的，而它们的关联性可以用隐式因子表示，这将使得有更多的数据可以用于模型参数的学习。比如 $x_i$, $x_j$与 $x_i$, $x_k$ 的参数分别为：$⟨v_i,v_j⟩$和$⟨v_i,v_k⟩$，它们都可以用来学习$v_i$，更一般的，包含$x_i{x}_j̸=0\&i̸=j$的所有样本都能用来学习$v_i$，很大程度上避免了数据稀疏性的影响。

时间复杂度O($k{d}^2$)—>O($kd$</