目录
1. 概念
一个CRC计算的小工具：
在了解CRC如何工作之前，我们需要先了解几个概念。
1.1 什么是异或运算
异或运算是一种逻辑运算，用符号"⊕"表示。当两个二进制位不同时，结果为1；当两个二进制位相同时，结果为0。
| 结果 | 运算公式 | ||
| 0 | 0 | 0 | 0⊕0=0 |
| 0 | 1 | 1 | 0⊕1=1 |
| 1 | 0 | 1 | 1⊕0=1 |
| 1 | 1 | 0 | 1⊕1=0 |
相同得0，相异得1
1.2 什么是多项式
一个多项式是由变量（如 x）和系数（常数）通过加法、减法、乘法及非负整数次幂运算构成的表达式。
在 CRC 算法中，二进制数据被映射为多项式，举个例子，假如现在有二进制数10110011，其中二进制数的每一位对应的是系数（），则对应多项式为：
1· + 0·
+ 1·
+ 1·
+ 0·
+ 0·
+ 1·
+ 1
可简写为： +
+
+
+ 1
在CRC中用到的除数，正是由多项式的各项系数组成。
1.3 什么是模2运算
CRC 使用模 2 多项式算术。模2运算（Modulo-2 Arithmetic）是一种在二进制数（只有0和1）上定义的运算规则体系。
1.3.1 加法/减法运算
不考虑进位（加法时）或借位（减法时），其核心操作等价于异或（XOR）运算。
| 加法运算公式 | 减法运算公式 | ||
| 0 | 0 | 0⊕0=0 | 0⊖0=0 |
| 0 | 1 | 0⊕1=1 | 0⊖1=1 |
| 1 | 0 | 1⊕0=1 | 1⊖0=1 |
| 1 | 1 | 1⊕1=0 | 1⊖1=0 |
注意这里是二进制加减，不要将其当成自然数加减了
1.3.2 乘法运算
规则与普通二进制乘法（逻辑与 / AND）相同。
| 程法运算公式 | ||
| 0 | 0 | 0⊗0=0 |
| 0 | 1 | 0⊗1=0 |
| 1 | 0 | 1⊗0=0 |
| 1 | 1 | 1⊗1=1 |
1.3.3 除法运算
模 2 除法相对于普通的算术除法，主要的区别在模 2 除法，它既不向上位借位，也不比较除数和被除数的相同位数值的大小，只要以相同位数进行相除即可，举个例子：
需要注意几点：
① 对齐：将除数与被除数的最高有效位对齐。
② 异或：如果对齐后的被除数部分当前最高位是1，则在该步的商记1，并用除数对当前被除数部分进行模2减法（XOR）。
③ 下移：将下一位被除数位带下来，形成新的部分被除数。
④重复：重复步骤2和3，直到处理完所有被除数位。
⑤ 结果：最终得到的商就是模2除法的商，最后剩下的部分（位数比除数少一位）就是余数（Remainder）。
上面那样看着不明显，我们和十进制放一起看一下：
上面概念了解完了，下面我们来看看什么是CRC。
2. CRC运算
循环冗余校验(Cyclic Redundancy Check，CRC) 是一种广泛应用于数据通信和存储系统中的错误检测技术。它利用多项式除法生成一个固定大小的校验码（CRC 码），并将其附加到传输的数据上，使接收方能够验证数据的完整性。其特征是信息字段和校验字段的长度可以任意选定，当检测原始数据在传输或存储过程中发生的意外改变，它能识别错误但不能纠正错误；一旦检测到错误，通常会触发重传请求。
那么CRC是如何使用的呢？这里我们举个例子，以这个例子进行展开描述：
我们来计算0x1C的CRC-8的校验结果：
数据串：0001 1100
多项式：
+
+
+ 1
2.1 步骤一：展开多项式获得CRC除数
多项式： +
+
+ 1，展开后就是：
1· + 0·
+ 0·
+ 0·
+ 0·
+ 0·
+ 1·
+ 1·
+ 1
对应的除数就是二进制：
除数：1 0000 0111
2.2 步骤二：数据末端加0
数据串也就是被除数，根据多项式的最高此项在后方补0，多项式最高是几次就加几个0，根据除数可知最高此项为8，也就是补8个0，此时被除数为：
被除数：0001 1100 0000 0000
2.3 步骤三：数据运算
根据1.3.3的除法运算进行运算，将除数与被除数的最高有效位对齐：
进行按位异或操作：
使用上面的校验工具看一下：
2.4 结果
找到我们刚才的例子：
计算0x1C的CRC-8的校验结果：
数据串：0001 1100
多项式：
此时我们就可以得到：
数据串（被除数）：0001 1100 0000 0000
多项式（除数）： 1 0000 0111
校验和： 0101 0100
这里我们在使用过程中想要发送带有CRC校验的数据，即将校验和添加到原始的数据串后面即可：
数据串：0001 1100
校验和：0101 0100
带有CRC校验的数据：0001 1100 0101 0100
注意！！！
这里有一点需要了解，校验和的位数不是随便取的，校验和的位数等于最高次幂的系数，也就是除数的位数-1，例如我们上面最高次幂为8，因此我们校验和最终位数取了8位，我们在举一个例子：
此时我们若是取校验和，就需要取蓝色部分。
以上就是CRC相关简单的运算过程，下面我们做一些拓展。注意拓展的这四个名词是为嵌入式单片机服务的，如果只是单纯的使用CRC计算，上面这些就可以了。
3. 拓展：初始值、结果异或值、输入反转、输出反转解释
下面是一些常见的CRC参数模型，可能你发现了，除了我们上面提到的，还有四个名词没有使用到，即初始值、结果异或值、输入反转、输出反转：
这些有什么作用呢？我们还是举例进行说明，我们先回到最开始的例子，以它来数据一下假如这四个名词后的运算流程：
计算0x1C的CRC8的校验结果：
数据串：0001 1100
多项式：
按照我们上面的运算过程：
那么我们带入表中的四个数据，结果还会是这样吗？
根据表中数据，结果异或值、输入反转、输出反转：
可以看出最终结果没有发生变化：
3.1 初始值
初始值（Initial Value 或 INIT）是指在开始处理数据之前，预先填充到CRC寄存器（或称为移位寄存器）中的值。
增加初始值可以避免全零陷阱，全零的CRC校验码在传输或存储中可能与“无数据”或“数据缺失”的状态混淆。使用非零初始值（尤其是非全零的特殊值）可以确保即使数据是全零，计算出的CRC也不会是零（除非数据恰好满足某种条件），提高了校验码的区分度。
各种标准的CRC算法（如CRC-16-CCITT，CRC-32，CRC-16-MODBUS）都明确规定了必须使用的初始值。初始值是区分不同CRC变体的关键参数之一。只有使用相同的初始值（以及相同的生成多项式、输入反转、输出反转、结果异或值），不同系统计算出的CRC校验码才能一致。
3.2 结果异或值
结果异或值 (Final XOR Value / XOROUT)在计算完整个数据的CRC值后，但在输出最终校验码之前，将这个值按位异或 (XOR) 到CRC寄存器（即当前的CRC结果）上。
效作用和初始值差不多，只不过一个是在数据处理之前，一个是在数据处理完成以后。
3.3 输入反转
输入反转 (Input Reflection / REFIN)在将每个输入数据字节送入CRC计算核心（通常是移位寄存器）进行处理之前，是否先反转（Reflect）该字节内的比特顺序。
反转操作就是将一个字节（8位）的最高位 (MSB) 和最低位 (LSB) 交换，次高位和次低位交换，依此类推。相当于将字节内的比特顺序颠倒过来。举个例子：假如现在有 0x11001001，反转后就是 0x10010011，也就是 12345678 变成 87654321。
这样做的目的，是因为早期硬件CRC计算电路（使用线性反馈移位寄存器）有时采用不同的移位方向（左移 vs 右移）。输入反转提供了一种软件方式，使得即使底层计算逻辑是按特定方向设计的，也能兼容处理不同比特顺序（MSB-first vs LSB-first）的数据流。
3.4 输出反转
输出反转 (Output Reflection / REFOUT)在应用了结果异或值之后，但在输出最终的CRC校验码之前，是否反转整个CRC寄存器值的比特顺序。
原因和输入类似。
简单来说，这四个名词出现的原因，是解决硬件实现差异（移位方向、比特顺序）和避免特殊值（全零CRC）的问题，确保遵循同一标准的系统计算出的CRC校验码完全一致。
4. 拓展：C语言代码编写一
还是以我们上面的举例进行了解：
计算0x1C的CRC8的校验结果：
数据串：0001 1100
多项式：
得到
数据串（被除数）：0001 1100 0000 0000
多项式（除数）： 1 0000 0111
在开始编写代码前，我们先看一下CRC校验直观的运算过程，了解一下其原理，首先我们生成一个运算器：
这样的运算器是怎么来的呢？我们看一下我们之前的运算过程，由于除数的最高位一定为1，并且除数的最高位在运算过程中，一定需要与被除数的最高有效位对齐，我们又知道根据异或操作，在二进制中无论0或者1，只要与1异或，可以理解为取反操作，因为0⊕1得1，1⊕1得0：
那么我们是不是可以认为每当最高位检测到1，那么除数中1对照的被除数，皆会进行取反操作：
这样每当探测器检测到1，取反器就开始取反：
实际使用看看，将被除数依次通过入口放入到运算器当中：
一直放入数据直到检测器检测到“1”：
此时检测器启动取反器，将数据取反：
取反完后数据继续压入，直到再次检测到一，再次取反：
一直循环，直到所有数据压入完成，此时运算器剩余数据就是所得值，注意从低到高取最高次幂的位数，这里最高次幂为 ，因此取8位，所得值为0x54：
完整过程：
原理了解完了我们来开始着手编写代码，首先声明一下多项式，注意这里声明不包含检测器“1”，也就是我们正常多项式为0x107，但是我们最高位当做检测器，在CRC实际计算中被隐式声明了：
uint8_t poly = 0x07; // 多项式低8位（0x107去掉最高位）创建一个初始值用于存放每次移位后运算器的值：
uint8_t crc = 0x00; // 初始值检查CRC寄存器的最高位与当前数据位的异或结果，如果条件满足，左移CRC寄存器并与多项式进行异或，如果条件不满足，只需将CRC寄存器左移一位：
for (int i = 0; i < 8; i++)
{
uint8_t msb = (crc >> 7) & 0x01; // 取 crc 的最高位
crc <<= 1; // 左移 1 位
if (msb)
{ // 如果最高位是 1，才异或 poly
crc ^= poly;
}
}完整代码：
#include <stdio.h>
#include <stdint.h>
uint8_t crc8_0x07(uint8_t data)
{
uint8_t crc = data;
uint8_t poly = 0x07;
for (int i = 0; i < 8; i++)
{
uint8_t msb = (crc >> 7) & 0x01; // 取 crc 的最高位
crc <<= 1; // 左移 1 位
if (msb)
{ // 如果最高位是 1，才异或 poly
crc ^= poly;
}
}
return crc;
}
int main() {
uint8_t data = 0x1C;
uint8_t crc = crc8_0x07(data);
printf("CRC-8 (Poly 0x07) for 0x%02X: 0x%02X\n", data, crc);
return 0;
}
5. 拓展：C语言代码编写二
上面我们编写了CRC-8的代码，但是在实际使用过程在，上述代码其实是不规范，首先，在我们上面给出的常见的CRC模型中，可以看出CRC的初始值是0x00，而我们上面代码并没有初始值这一项，除此之外，需要遵循MSB(最高有效位优先)的处理方式，我们直接去的全是我们运算器值的最高位，这样做也不能说错，但是对于实际使用更改其他模型不是很方便。
我们将代码更改一下，完整代码：
#include <stdio.h>
#include <stdint.h>
/**
* @brief 计算CRC-8（多项式0x107，MSB First）
* @param data 输入数据
* @return uint8_t CRC校验值
*/
uint8_t crc8_0x107(uint8_t data)
{
uint8_t crc = 0x00; // 初始值
uint8_t poly = 0x07; // 多项式低8位（0x107去掉最高位）
for (int i = 7; i >= 0; i--) // MSB First处理，循环从最高位(第7位)开始处理到最低位(第0位)，实现MSB(最高有效位优先)的处理方式
{
uint8_t bit = (data >> i) & 0x01;//将数据右移i位后与0x01进行与操作，提取当前要处理的bit
if ((crc >> 7) ^ bit) //检查CRC寄存器的最高位与当前数据位的异或结果
{
crc = (crc << 1) ^ poly;
}
else
{
crc <<= 1;
}
}
return crc;
}
int main()
{
uint8_t data = 0x1C;
uint8_t crc = crc8_0x107(data);
printf("CRC-8 (Poly 0x107) for 0x%02X: 0x%02X\n", data, crc);
return 0;
}流程：
初始CRC: 00000000
处理第7位(0): CRC最高位0 ^ 0 = 0 → 左移 → 00000000
处理第6位(0): 同上 → 00000000
处理第5位(0): 同上 → 00000000
处理第4位(1): CRC最高位0 ^ 1 = 1 → (00000000 << 1) ^ 00000111 = 00000111
处理第3位(1): CRC最高位0 ^ 1 = 1 → (00000111 << 1) ^ 00000111 = 00001001
处理第2位(1): CRC最高位0 ^ 1 = 1 → (00001001 << 1) ^ 00000111 = 00010101
处理第1位(0): CRC最高位0 ^ 0 = 0 → 00010101 << 1 = 00101010
处理第0位(0): CRC最高位0 ^ 0 = 0 → 00101010 << 1 = 01010100
6. 拓展：C语言代码编写三
上面我们会发现，每次只能处理一个字节的数据在实际使用过程中还不是很方便，那么如果我们想要实现随机输入数组，进行处理要如何实现呢？
注意期间使用的函数，若是不理解的可以去下方链接查看，所提到的函数皆有涉及，这里只是简述其用法，不做详解，不然篇幅过长，还有点跑偏了，毕竟是讲CRC的：
首先对于随机输入，我们通过调用 fgets() 函数实现读取我们输入的数据，由于 fgets() 函数不能自己移出换行符，因此需要我们手动移调：
printf("请输入十六进制数据（用空格分隔，例如: 1C A3 45）: ");
fgets(input, sizeof(input), stdin);
input[strcspn(input, "\n")] = '\0'; // 移除换行符对于输入的数据，我们通过字符串分割函数 strtok() 进行分割，存入到数组当中，为了避免修改原数据我们只对 strdup() 复制的数据进行修改，完成后注意讲修改完的内存空间清除：
int hex_string_to_bytes(const char *hex, uint8_t *bytes) {
int count = 0;
char *token;
char *copy = strdup(hex); // 复制字符串以避免修改原数据
token = strtok(copy, " "); // 按空格分割字符串
while (token != NULL) {
bytes[count++] = (uint8_t)strtol(token, NULL, 16); // 转换为字节
token = strtok(NULL, " ");
}
free(copy);
return count;
}对分割好的数据，我们逐字节进行CRC数据处理：
uint8_t crc8_stream(const uint8_t *data, size_t len) {
uint8_t crc = 0x00; // 初始值
for (size_t i = 0; i < len; i++) {
crc = crc8_update(crc, data[i]); // 逐字节更新CRC
}
return crc;
}CRC处理函数我们还是沿用上面的：
uint8_t crc8_update(uint8_t crc, uint8_t data) {
uint8_t poly = 0x07; // 多项式低8位（0x107去掉最高位）
for (int i = 7; i >= 0; i--) { // 从最高位开始处理
uint8_t bit = (data >> i) & 0x01;
if ((crc >> 7) ^ bit) {
crc = (crc << 1) ^ poly;
} else {
crc <<= 1;
}
}
return crc;
}
完整代码：
#include <stdio.h>
#include <stdint.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
/**
* @brief 计算单字节CRC-8（多项式0x107，MSB First）
* @param crc 当前CRC寄存器值
* @param data 输入数据字节
* @return uint8_t 更新后的CRC值
*/
uint8_t crc8_update(uint8_t crc, uint8_t data) {
uint8_t poly = 0x07; // 多项式低8位（0x107去掉最高位）
for (int i = 7; i >= 0; i--) { // 从最高位开始处理
uint8_t bit = (data >> i) & 0x01;
if ((crc >> 7) ^ bit) {
crc = (crc << 1) ^ poly;
} else {
crc <<= 1;
}
}
return crc;
}
/**
* @brief 计算数据流的CRC-8校验值
* @param data 输入数据数组
* @param len 数据长度（字节数）
* @return uint8_t CRC校验值
*/
uint8_t crc8_stream(const uint8_t *data, size_t len) {
uint8_t crc = 0x00; // 初始值
for (size_t i = 0; i < len; i++) {
crc = crc8_update(crc, data[i]); // 逐字节更新CRC
}
return crc;
}
/**
* @brief 将十六进制字符串转换为字节数组
* @param hex 输入的十六进制字符串（如"1C A3 45"）
* @param bytes 输出字节数组
* @return int 转换的字节数，失败返回-1
*/
int hex_string_to_bytes(const char *hex, uint8_t *bytes) {
int count = 0;
char *token;
char *copy = strdup(hex); // 复制字符串以避免修改原数据
token = strtok(copy, " "); // 按空格分割字符串
while (token != NULL) {
bytes[count++] = (uint8_t)strtol(token, NULL, 16); // 转换为字节
token = strtok(NULL, " ");
}
free(copy);
return count;
}
int main() {
char input[256];
uint8_t data[128];
size_t len;
printf("请输入十六进制数据（用空格分隔，例如: 1C A3 45）: ");
fgets(input, sizeof(input), stdin);
input[strcspn(input, "\n")] = '\0'; // 移除换行符
// 转换输入数据为字节数组
len = hex_string_to_bytes(input, data);
if (len <= 0) {
printf("输入格式错误！\n");
return 1;
}
// 计算CRC-8
uint8_t crc = crc8_stream(data, len);
// 打印输入数据和CRC结果
printf("输入数据: ");
for (size_t i = 0; i < len; i++) {
printf("%02X ", data[i]);
}
printf("\nCRC-8 (Poly 0x107): 0x%02X\n", crc);
return 0;
}我们先输入0x1C看看：
随便输一组数据：
验证可行。
持续更新中，后续有新的需求会继续拓展，欢迎讨论
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