63、数学背景与算法数论知识解析

数学背景与算法数论知识解析

在数学和密码学领域，有许多重要的概念和算法，下面将为大家详细介绍“生日问题”、有限域以及基本算法数论等方面的知识。

1. “生日问题”

“生日问题”探讨的是从大小为 $N$ 的集合中均匀选取 $q$ 个元素 $y_1, \cdots, y_q$ 时，存在不同的 $i$ 和 $j$ 使得 $y_i = y_j$ 的概率。我们将这个事件称为碰撞，用 $coll(q, N)$ 表示其概率。

这个问题与经典的生日问题相关，经典生日问题是问需要多大规模的人群，才能使其中至少有两人同一天生日的概率达到 $\frac{1}{2}$。若用 $y_i$ 表示第 $i$ 个人的生日，假设一年 365 天且生日均匀独立分布，那么问题就转化为求最小的整数 $q$，使得 $coll(q, 365) \geq \frac{1}{2}$，答案是 $q = 23$ 人。

当 $q \leq \sqrt{2N}$ 时，碰撞的概率为 $\Theta(\frac{q^2}{N})$；当 $q = \Theta(\sqrt{N})$ 时，碰撞的概率为常数。具体有如下引理：

引理 A.15 ：设正整数 $N$ 固定，且 $q \leq \sqrt{2N}$ 个元素 $y_1, \cdots, y_q$ 从大小为 $N$ 的集合中均匀独立选取，则有：
$\frac{q \cdot (q - 1)}{4N} \leq 1 - e^{-\frac{q(q - 1)}{2N}} \leq coll(q, N) \leq \frac{q \cdot (q - 1)}{2N}$

证