36、数论与密码学难题假设解读

数论与密码学难题假设解读

1. 数论基础与概率分析

在数论和密码学中，存在一些重要的概率分析结论。对于特定条件下的元素 (a)，有 (a^{2^i u} \not\equiv -1 \mod N)（其中 (i \in {1, \ldots, r - 1})）。寻找强见证元素或者不在 (Z_N^*) 中的元素的概率至少为 (1/2)。这意味着在多次迭代的算法中，如果进行 (t) 次迭代，算法始终不输出“合数”的概率至多为 (2^{-t})。

2. 分解假设

分解假设是密码学中的一个重要概念。存在一个多项式时间算法 (GenModulus)，当输入为 (1^n) 时，它会输出 ((N, p, q))，其中 (N = pq)，并且 (p) 和 (q) 是 (n) 位素数（除了概率可忽略不计的情况）。通常的做法是先生成两个均匀的 (n) 位素数，然后将它们相乘得到 (N)。

下面是一个针对给定算法 (A) 和参数 (n) 的分解实验 (Factor_{A,GenModulus}(n))：
1. 运行 (GenModulus(1^n)) 得到 ((N, p, q))。
2. 算法 (A) 接收 (N) 作为输入，并输出 (p’, q’ > 1)。
3. 如果 (p’ \cdot q’ = N)，则实验输出为 (1)；否则为 (0)。

需要注意的是，如果实验输出为 (1)，那么 ({p’, q’} = {p, q})，除非 (p) 或 (q) 是合数，但这种情况发生的概率可忽略不计。

正式定义分解假设如下：
如果对于所有概率多项式时间算法 (A)，都存在一个可忽略函数 (negl)，