吴恩达Coursera深度学习（2-2）优化算法

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Class 2：改善深层神经网络：超参数调试、正则化以及优化

Week 2：优化算法

目录

1、Mini-batch 梯度下降法

对整个训练集进行梯度下降法的时候，我们必须处理整个训练数据集，然后才能进行一步梯度下降，即每一步梯度下降法需要对整个训练集进行一次处理，如果训练数据集很大的时候，如有500万或5000万的训练数据，处理速度就会比较慢。

但是如果每次处理训练数据的一部分即进行梯度下降法，则我们的算法速度会执行的更快。而处理的这些一小部分训练子集即称为Mini-batch。

（1）算法核心：
对于普通的梯度下降法，一个epoch只能进行一次梯度下降；而对于Mini-batch梯度下降法，一个epoch可以进行Mini-batch的个数次梯度下降。
（2）不同size大小的比较
普通的batch梯度下降法和Mini-batch梯度下降法代价函数的变化趋势，如下图所示：

2、指数加权平均

3、动量（Momentum）梯度下降法

动量梯度下降的基本思想就是计算梯度的指数加权平均数，并利用该梯度来更新权重。

在我们优化 Cost function 的时候，以下图所示的函数图为例：

• 在利用梯度下降法来最小化该函数的时候，每一次迭代所更新的代价函数值如图中蓝色线所示在上下波动，而这种幅度比较大波动，减缓了梯度下降的速度，而且我们只能使用一个较小的学习率来进行迭代。
• 如果用较大的学习率，结果可能会如紫色线一样偏离函数的范围，所以为了避免这种情况，只能用较小的学习率。
• 但是我们又希望在如图的纵轴方向梯度下降的缓慢一些，不要有如此大的上下波动，在横轴方向梯度下降的快速一些，使得能够更快的到达最小值点，而这里用动量梯度下降法既可以实现，如红色线所示。

算法实现

β常用的值是0.9。

在我们进行动量梯度下降算法的时候，由于使用了指数加权平均的方法。

• 原来在纵轴方向上的上下波动，经过平均以后，接近于0，纵轴上的波动变得非常的小；
• 但在横轴方向上，所有的微分都指向横轴方向，因此其平均值仍然很大。最终实现红色线所示的梯度下降曲线。

4、RMSprop

除了上面所说的Momentum梯度下降法，RMSprop（root mean square prop）也是一种可以加快梯度下降的算法。

同样算法的样例实现如下图所示：

这里假设参数b的梯度处于纵轴方向，参数w的梯度处于横轴方向（当然实际中是处于高维度的情况），利用RMSprop算法，可以减小某些维度梯度更新波动较大的情况，如图中蓝色线所示，使其梯度下降的速度变得更快，如图绿色线所示。

在如图所示的实现中，RMSprop将微分项进行平方，然后使用平方根进行梯度更新，同时为了确保算法不会除以0，平方根分母中在实际使用会加入一个很小的值如$ε=10^{−8}$。

5、Adam优化算法

Adam 优化算法的基本思想就是将 Momentum 和 RMSprop 结合起来形成的一种适用于不同深度学习结构的优化算法。

6、学习率衰减

在我们利用 mini-batch 梯度下降法来寻找Cost function的最小值的时候，如果我们设置一个固定的学习速率α，则算法在到达最小值点附近后，由于不同batch中存在一定的噪声，使得不会精确收敛，而一直会在一个最小值点较大的范围内波动，如下图中蓝色线所示。

但是如果我们使用学习率衰减，逐渐减小学习速率α，在算法开始的时候，学习速率还是相对较快，能够相对快速的向最小值点的方向下降。但随着α的减小，下降的步伐也会逐渐变小，最终会在最小值附近的一块更小的区域里波动，如图中绿色线所示。

7、局部最优问题

在低纬度的情形下，我们可能会想象到一个Cost function 如左图所示，存在一些局部最小值点，在初始化参数的时候，如果初始值选取的不得当，会存在陷入局部最优点的可能性。

但是，如果我们建立一个神经网络，通常梯度为零的点，并不是如左图中的局部最优点，而是右图中的鞍点（叫鞍点是因为其形状像马鞍的形状）。

在一个具有高维度空间的函数中，如果梯度为0，那么在每个方向，Cost function可能是凸函数，也有可能是凹函数。但如果参数维度为2万维，想要得到局部最优解，那么所有维度均需要是凹函数，其概率为$2^{−20000}$，可能性非常的小。也就是说，在低纬度中的局部最优点的情况，并不适用于高纬度，我们在梯度为0的点更有可能是鞍点。

在高纬度的情况下：

• 几乎不可能陷入局部最小值点；
• 处于鞍点的停滞区会减缓学习过程，利用如Adam等算法进行改善。