一些关系（离散数学中的）的算法设计思想

证明既定关系

给出如下所示的学生成绩统计表

学生\课程	A₁	A₂	……	An
X₁	A₁（X₁）	A₂（X₁）	……	……
X₂	A₁（X₁）	A₂（X₁）	……	……
……	……	……	……	……
Xm	……	……	……	An（Xm）

根据学生的学习成绩，写出求解获取所有学生的集合上序关系的算法描述：即 若学生X_i，在所有课程上的成绩都优于学生X_j，则学生对（X_i，X_j）满足序关系，这一序关系以矩阵的形式输出。

思路

有n个学生，就构建一个n行n列的学生矩阵，比对每个学生与其他学生的关系
满足“序关系”（成绩全方面超过别人）就置为1，否则置为0

伪代码形式如下：

Input 学生成绩统计表table
获取成绩表中学生人数m，课程数目n
初始化学生矩阵student_matrix(m,m)为零矩阵

for i=1:m 
    for j=1:m 
    	flag=1
        for k=1:m
        	if table(i,k)<table(j,k)
        		flag=0 标记不满足优于关系
        		break 直接退出本次循环
        	end if	
        end for
        if flag==1 
        	student_matrix(i,j)=1
        end if
    end	for
end	for
Output student_matrix

证明等价关系

给定一个m×m的矩阵M，用以表示定义在集合A上的一个二元关系，设计算法用以判断这一矩阵所表示的二元关系是否满足等价关系

思路

等价关系分三步：自反、对称、传递
自反性用一次for循环，遍历关系矩阵M对角线上元素即可
对称性用两次for循环，遍历M中（i，j）为1的部分，判断（j，i）是否为1
传递性用三层for循环，遍历M中（i，j）为1且（j，k）为1的部分，M（i，k）是否为1

伪代码形式如下：

Input 关系矩阵M，矩阵规模m

定义函数 reflective： 参数M，m
	for i=1:m
		if M(i,i)!=1
			return false
		end if
	end for
	return true
end

定义函数 symmetric： 参数M，m
	for i=1:m
		for j=1:m
			if M(i,j)==1 and M(j,i)!=1
				return false
			end if
		end for
	end for
	return true
end

定义函数 transitive： 参数M，m
	for i=1:m
		for j=1:m
			for k=1:m
				if M(i,j)==1 and M(j,k)==1 and M(i,k)!=1
					return false
				end if
			end for
		end for
	end for
	return true
end

主函数：
if reflective（M,m）and symmetric（M,m）and transitive（M,m）
	output 这是一个等价关系
else
	output 这不是一个等价关系
end if

证明关系的划分

给定一个m×m的矩阵M用以表示一个等价关系，该等价关系是定义在集合A上的，即|A|=m，设计算法求得这个等价关系所对应的划分。

思路

首先了解等价关系对应的划分

通俗来讲
等价关系→划分：彼此满足关系的元素构成一个集合（block），所有的block组成对应的划分
比如关系对(1,1)(1,2)(2,1)(2,2)构成集合{1,2}，关系对（3,3）构成集合{3}那么整个关系(1,1)(1,2)(2,1)(2,2)(3,3)对应的划分就是{{1,2},{3}}
划分→等价关系：划分中的每个block自己与自己形成笛卡尔积，其元素就形成关系对，所有关系对合起来就是对应的等价关系，例子我就不举了，传送门里面说的很详细

回到题目，要求关系对应的划分，根据关系矩阵找出每个关系对形成的block，所有block合并就是对应的划分

伪代码如下：

Input 等价关系矩阵M，矩阵长度m，集合A
创建容器partition 和 block
for i=1:m
	for j=1:m
		if M(i,j)==1
			block中加入A(j)
		end if
	end for
	for b in partition
		if block 与b有交集
			block与b取并集存储在b中
		end if
	end for
	if block与partition每个元素都没交集
		partition加入block
	end if
	block清空，准备下一轮存储
end for
Output partition

找寻LUB和GLB

给定一个非空有限偏序集（A，≤），设计算法求解A中任意两个元素最小上边界存储在矩阵M_LUB中，设计算法求解A中任意两个元素最大下边界，存储在矩阵M_GLB中。

思路

这里要用到一个推论（证明很简单，我就不证了）
a∨b=b，当且仅当a≤b
a∧b=a，当且仅当a≤b
所以遍历整个集合A
对每个元素i，再遍历集合A一次
用A（i）对比A（j），如果满足A（i）≤ A（j），则A（i）存入M_GLB中第（i，j）位，A（j）存入M_LUB第（i，j）位。
输出M_LUB 和 M_GLB

伪代码如下：

Input 集合A
求出A的模m
for i=1:m
	for j=1:m
		if A(i)和A(j)满足≤关系
			GLB(i,j)=A(i)
			LUB(i,j)=A(j)
		end if
	end for
end for
Output GLB 和 LUB

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