算法导论读书笔记——数论1

今天开始真正意义上的数论学习，呕耶~

先发个牢骚……看着玩意看的想睡觉，尤其是半夜看…………

好，进入正题，有人说《算法导论》的数论部分写的比黑书或者其他的好些，所以我就看这本咯~

首先是整数集合Z 和自然数集合 N ，今天再看某个定理的时候把 Z 误以为 N ，然后想了半天为什么这个定理是成立的呢……后来恍然大悟，郁闷……

一、除法定理：对任意整数a 和任意整数 n ，存在唯一的整数 q 和 r ，满足 0<=r<n ，并且 a=qn+r 。

把它写成一个除法，得到a/n=q....r ，也就是给定了 a 和 n ，当然 q 和 r 也就确定咯！小学知识……

那么给定一个数n ，所有整数对他取余会存在 n 种情况 (0.1.2....n) ，那么把这些整数根据对他取余的结果分成了 n 类，例如给定 n=3 ，那么可以把所有的整数分成了 {-3,0,3,6,....}( 模 3 为 0) ； {-2,1,4,7......}( 模 3 为 1) ； {-1,2,5,8.....}( 模 3 为 2) 三类。

二、 公约数和最大公约数

先说明a|b 表示 b 整除 a 或者 a 能被 b 整除……

首先，有d|a && d|b ==>d|(a+b) && d|(a-b) ，数 d 满足能同时被 a 和 b 整除，那么 d 就是 a 和 b 的公约数，也就是说 a 和 b 同时有个因子 d ，所以 a+b 和 a-b 都有因子 d ，例如 a+b ，可以写成 d(a/d+b/d) ，因为 d 为 a 和 b 的公因子，所以能够保证 a/d 和 b/d 为整数，也就能保证 a+b 被 d 除后为整数，因此关系 d|a && d|b ==>d|(a+b) && d|(a-b) 成立。

这个关系可以推广为d|a && d|b ==> d|(ax+by) ，原因同上。

另外，如果a|b && b|a  ，则可以得到 |a|=|b| ，也就是 a= ± b 。

a和 b 的最大公约数用 gcd(a,b) 表示，另外规定 gcd(0,0)=0 。则有如下性质：

gcd(a,b)=gcd(b,a);

gcd(a,b)=gcd(-a,b);

gcd(a,b)=gcd(|a|,|b|);

gcd(a,0)=|a|;

gcd(a,ka)=|a|;

相对于小学，现在的定义已经从正整数范围扩大到整个整数范围了。

下一个定理：如果a 和 b 是不都为 0 的任意整数，则 gcd(a,b) 是 a 与 b 的线性组合集合 {ax+by ， x,y 均为整数 } 中的最小正元素。这个证明我没有看懂，不过结论貌似挺重要的……

对于任意整数a 与 b ，如果 d|a 并且 d|b ，则 d|gcd(a,b) ，显然成立，因为如果 d 为 a 和 b 的公因子，也就是 a 和 b 的公约数，显然是 a 和 b 的最大公约数的因子，也就是 d|gcd(a,b)

最后给两个推论

1. 对所有的整数a 和 b 以及任意的非负整数 n ，有 gcd(an,bn)=ngcd(a,b)

2. 对所有的正整数n ， a ， b ，如果 n|ab 并且 gcd(a,n)=1 ，则 n|b 。

三、 互质数

gcd(a,b)=1，则有 a ， b 互质。 a 和 b 为互质数。

如果对任意整数a ， b ， p ，有 gcd(a,p)=1 且 gcd(b,p)=1 ，则有 gcd(ab,p)=1

这个定理的证明就用到了刚才那个说很重要的定理……

证明如下：

设有整数x,y,x',y' 满足

ax+py=1

bx'+py'=1

两边相乘，得到

ab(xx')+p(ybx'+y'ax+pyy')=1

所以1 是 ab 和 p 的一个正线性组合，所以 gcd(ab,p)=1 证毕。

四、 唯一质因子分解

就是说任意的数

其中p1...pn 为质数。

五、 欧几里得算法及其拓展

GCD递归定理：对于任意的非负整数 a 和任意的正整数 b ， gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)

之后就有了欧几里得算法，也就是辗转相除法，这里略过，太熟悉了……

之后就是欧几里得的拓展了，对于ax+by=gcd(a,b)=d 时，可以算出满足条件的 x 和 y ，推导和求法如下