平方和到幂和

之前看到这一篇文章，然后我发给开妹看，他问我，小学要怎么推导出平方和公式，然后我就开始了尝试……
在这之前，先放两幅图意思一下

这两幅图是我从《proof without words》中截下来的，当然，他们是一个美妙的证明，但是要说，跟数学归纳法一样，这两幅图更多的让人感觉是一种已知结果，而去验证结果的证明，要怎么才能一步步推导出平方和公式呢？
在《具体数学》中，作者其实专门整理了各种推算、证明平方和公式的办法，其中有一个方法叫“摄动法”，大概是这么做的：

将平方和记做$S_{n}$，则有

$S_{n}=\sum_{i=1}^{n}{i^2}$

那么有

$\sum_{i=1}^{n}{(i+1)^2}=S_{n}+(n+1)^2-1$ (式1)

其实这个式子的意思就是说：

$2+3+...+n+(n+1)$

是由式子

$1+2+...+(n-1)+n$

加上一个$n+1$，然后再减去$1$得来的。

因此，将式1整理一下，得到：

$S_{n}+2\sum_{i=1}^{n}{i}+\sum_{i=1}^{n}{1}=S_{n}+(n+1)^2-1$

这时候发现，我们要求的$S_n$消掉了，意味着我们没有办法这么求出$S_n$，但是，能够发现，如果我们把式子整理一下，是可以求出求和公式$\sum_{i=1}^{n}{i}$的值的。

$2\sum_{i=1}^{n}{i}+n=(n+1)^2-1$

即

$\sum_{i=1}^{n}{i}=\frac{n^2+n}{2}$

那么我们如果将立方和用同样的方式做的话，是不是就可以推导出平方和的公式呢？

设$T_{n}$为三次方和，则有

$T_{n}=\sum_{i=1}^{n}{i^3}$

那么同样的，我们可以得到

$\sum_{i=1}^{n}{(i+1)^3}=T_n+(n+1)^3-1$

把$(i+1)^3$展开，得到

$T_n+3\sum_{i=1}^{n}{i^2}+3\sum_{i=1}^{n}{i}+\sum_{i=1}^{n}{1}=T_n+(n+1)^3-1$

确实，$T_n$消掉了，于是，可以得到

$3S_n+3(\frac{n^2+n}{2})+n=(n+1)^3-1$

整理后得

$S_n=\frac{2n^3+3n^2+n}{6}$

那么我们是不是可以通过这种方法求出给定的幂次的和呢？是可以的。

假设$F_{(k)}=1^k+2^k+...+n^k$，则有

$F_{(k)}=\sum_{i=1}^{n}{i^k}$

照例做如下操作：

$\sum_{i=1}^{n}{(i+1)^k}=F_{(k)}+(n+1)^k-1$

展开$(i+1)^k$得

$C_{k}^{0}\sum_{i=1}^{n}{i^0}+C_{k}^{1}\sum_{i=1}^{n}{i^1}+...+C_{k}^{k-1}\sum_{i=1}^{n}{i^{(k-1)}}+F_{(n)}$
$=F_{(n)}+(n+1)^k-1$

用求和符号表示，也就是

$\sum_{j=0}^{k-1}{C_{k}^{j}}\sum_{i=1}^{n}{i^j}=(n+1)^k-1$

$\sum_{j=0}^{k-1}{C_{k}^{j}}F_{(j)}=(n+1)^k-1$

因为这时候$F_{(k)}$消掉了，因此，我们只能求$F_{(k-1)}$，所以我们就把它提出来，得到

$kF_{(k-1)}+\sum_{j=0}^{k-2}{C_{k}^{j}F_{(j)}}=(n+1)^k-1$

因此有

$F_{(k-1)}=\frac{(n+1)^k-1-\sum_{j=0}^{k-2}{C_{k}^{j}{F_{(j)}}}}{k}$

也就是说，如果求出了$F_{(1)}, F_{(2)}, ... , F_{(k-2)}$的值，就可以求出$F_{(k-1)}$的值了。