[Leetcode] 786. K-th Smallest Prime Fraction 解题报告

题目：

A sorted list A contains 1, plus some number of primes.  Then, for every p < q in the list, we consider the fraction p/q.

What is the K-th smallest fraction considered?  Return your answer as an array of ints, where answer[0] = p and answer[1] = q.

Examples:
Input: A = [1, 2, 3, 5], K = 3
Output: [2, 5]
Explanation:
The fractions to be considered in sorted order are:
1/5, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3.
The third fraction is 2/5.

Input: A = [1, 7], K = 1
Output: [1, 7]

Note:

• A will have length between 2 and 2000.
• Each A[i] will be between 1 and 30000.
• K will be between 1 and A.length * (A.length - 1) / 2.

思路：

1、优先队列：

我们先找规律，观察题目中给出的的例子[1, 2, 3, 5]，很容易知道：

1/5 < 1/3 < 1/2

2/5 < 2/3

3/5

也就是说，对于每个A[i]，如果以它为分子，则分母从A.back()到A[i+1]，与A[i]构成的分数呈严格递增序列。在这种情况下，我们可以通过优先队列来依次取出K个数，那么其取出的第K个数，就是我们所求。我们定义一个priority_queue<pair<double, pair<int, int>>>，其中pair中的第一个即为两个整数构成的分数，第二个分别为分子和分母在A中索引。以上面的例子来说明，我们在初始化的时候，将1/5, 2/5, 3/5分别加入优先队列中，然后每当取出最小元素，假如为A[p]/A[q]，我们就检查p是否小于q-1，如果是，则说明A[p]/A[q-1]也是合乎要求的分数，所以就将A[p]/A[q-1]也加入优先队列中。

在实现中，为了保证最小的值首先被从pq中取出，我们将分数取负作为优先队列中的key。算法的空间复杂度为O(n)，时间复杂度为O(Klogn)。

2、二分查找：

上面这个算法的问题在于当K特别大的时候，算法的时间复杂度其实还挺高的。另外一种解决思路就是采用二分查找。还是以题目中给出的[1,2,3,5]为例俩说明问题：

我们初始化left = 0, right = 1，作为二分查找的边界。然后每次取left和right的中间值，再分别计算每行中有多少个值小于等于mid。最后将所有行中小于等于mid的分数的个数加起来，记为count。如果发现count小于K，那么说明mid的取值过小，所以修改左边界；否则修改右边界。这样当count的个数刚好为K的时候，我们取小于等于mid的所有分数中的最大值，即为第K大的分数。二分查找法的空间复杂度为O(1)，时间复杂度为O(log(r)n^2)，其中r是left和right之间的差值。可以发现这个算法的时间复杂度与K无关。由于K一般情况下下是O(n^2)量级的，所以二分查找的时间复杂度还是要好于基于优先队列的方法。

代码：

1、优先队列：

class Solution {
public:
    vector<int> kthSmallestPrimeFraction(vector<int>& A, int K) {
        priority_queue<pair<double, pair<int,int>>> pq;
        for(int i = 0; i < A.size(); ++i) {
            pq.push({-1.0 * A[i] / A.back(), {i, A.size()-1}});
        }
        while(--K > 0) {
            pair<int,int> cur = pq.top().second;
            pq.pop();
            if (--cur.second > cur.first) {
                pq.push({-1.0 * A[cur.first] / A[cur.second], {cur.first, cur.second}});
            }
        }
        return {A[pq.top().second.first], A[pq.top().second.second]};
    }
};

2、二分查找：

class Solution {
public:
    vector<int> kthSmallestPrimeFraction(vector<int>& A, int K) {
        double left = 0, right = 1;
        int p = 0, q = 1, count = 0;
        while (true) {
            count = 0, p = 0;
            double mid = (left + right) / 2;
            // using A[i] as the numerator, and A[n - 1 - j] denominator
            for (int i = 0; i < n; ++i) {
                int j = n - 1;
                // find the first A[n - 1 - j] that A[i] / A[n - 1 - j] <= mid
                while (j >= 0 && A[i] > mid * A[n - 1 - j]) {
                    --j;
                }
                count += (j + 1);
                // update p and q if A[i] / A[n - 1 - j] is larger than p / q
                if (j >= 0 && p * A[n - 1 - j] < q * A[i]) {
                    p = A[i];
                    q = A[n - 1 - j];
                }
            }
            if (count < K) {
                left = mid;
            } else if (count > K) {
                right = mid;
            } else {
                return {p, q};
            }
        }
        return {p, q};
    }
};