[Leetcode] 600. Non-negative Integers without Consecutive Ones 解题报告

题目：

Given a positive integer n, find the number of non-negative integers less than or equal to n, whose binary representations do NOT contain consecutive ones.

Example 1:

Input: 5
Output: 5
Explanation: 
Here are the non-negative integers <= 5 with their corresponding binary representations:
0 : 0
1 : 1
2 : 10
3 : 11
4 : 100
5 : 101
Among them, only integer 3 disobeys the rule (two consecutive ones) and the other 5 satisfy the rule. 

Note: 1 <= n <= 109

思路：

确实是一道比较难的题目，参考了网上的解法。该解法基于如下两个观察：

1）在由'0'和'1'构成的长度为k的字符串中，不含连续'1'的字符串的个数为菲波那切数列f(k)。我觉得这个可以严格证明，但是为了简便，这里仅举例说明一下。例如我们假设k = 5，那么字符串的的范围为00000 - 11111。我们可以将该范围分为两个部分：[00000, 01111) U [10000, 10111)。 而任何大于等于110000的数字都不符合条件，因为其必定含有两个连续的1。[00000, 01111)其实就对应了f(4)，而[10000, 10111)其实就对应了f(3)，所以f(5) = f(4) + f(3)。

2）如果对字符串从左往右扫描，每次遇到一个1的时候，如果它的左边是0并且右面还有k位，那么就可以给结果加上f(k)，这是因为我们可以将该位置为0，并且在之后的k位上添加任意合法的长度为k的字符串，其大小都不会超过该字符串并且符合条件。但是如果其左边是1并且后面还有k位，那么添加f(k)之后就应该立即返回，这是因为任何之后添加f(i) (i < k)所对应的结果都不符合条件，原因是当前已经出现了两个连续的1了。如果程序在循环中没有提前返回，那么说明n本身也是符合条件的，所以最后返回ans + 1。

该算法的时间复杂度是O(1)，空间复杂度也是O(1)，这是因为对于int而言k <= 32，实在是好的不能再好的算法了。当然如果不限制是int，而是任意大小的正整数，那么其时间复杂度和空间复杂度都是O(log(num))，也是非常好的算法了。

代码：

class Solution {
public:
    int findIntegers(int num) {
        int f[32];
        f[0] = 1, f[1] = 2;
        for (int i = 2; i < 32; ++i) {
            f[i] = f[i-1] + f[i-2];
        }
        int ans = 0, k = 30, pre_bit = 0;
        while (k >= 0) {
            if (num & (1 << k)) {   // find the first '1' from right to left
                ans += f[k];
                if (pre_bit) {
                    return ans;
                }
                pre_bit = 1;
            }
            else {
                pre_bit = 0;
            }
            --k;
        }
        return ans + 1;
    }
};