HihoCoder 1952 运算数

给出一棵2n-1个点的二叉树，所有节点从1到2n-1编号，根节点编号为1。每个非叶子节点都有两个孩子，共有n-1个非叶子节点和n个叶子节点。每一个非叶子节点被标记了+或者×。
给出n个正整数a1…an，这n个数被随机打乱填入了n个叶子节点中，一共有n!种填法。接着按照如下规则把数字填入非叶子节点i中：设i的左儿子上的数为li，右儿子上的数为ri，如果i的标记是+，则把li + ri填入i中，否则把li × ri填入i中。
问所有填法中，填入根节点的数字的和是多少。

最重要的一点我们不用考虑每个叶子结点填的是什么。
我们不妨就设叶子节点的值为x。每个叶子节点的值都是下，通过非叶子节点的加法和乘法我们可以得到一个关于x的多项式。

可能有人不知道为什么会得到一个多项式，我们可以把x 当作变量，加法就是多项式加法，乘法就是卷积（多项式乘法）。

之后我们要做的就比较简单了，多项式的变量次数有高有低。变量的次数代表的是从n个数中选出选出k个（k 即为多项式某一项的次数。
x的k次方即从n个里面选出k个的所有方案的权值和。

这个我么可以通过一个dp解决 见代码。

我们还需要整棵树的多项式的系数，也可以通过dp（暴力）解决。

最终结果就是这个式子 f[n][i] * g[1][i]% * jc[n-i]
jc[i] 为1到I的阶乘，f[n][i] 为方案权值 g[1][i] 是整棵树中 x次数为I的系数。

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define LL long long
using namespace std;

const int maxn = 3300;

struct node
{
	int ls,rs;
	bool cur,lf;
};

node T[maxn*2];
int n,m,op;

LL a[maxn],cnt;
LL f[maxn][maxn],g[maxn*2][maxn],jc[maxn];
LL sum,res,mod=1e9+7;

string u;
int dfs(int u)
{
	int sz1,sz2,sz;
	if(T[u].ls) sz1=dfs(T[u].ls);
	if(T[u].rs) sz2=dfs(T[u].rs);
	if(!T[u].lf)
	{
		g[u][1]=1; return 1;
	}
	else
	{
		if(!T[u].cur) //加
		{
			sz = max(sz1,sz2); 
			for(int i=1;i<=sz;i++) g[u][i] = g[T[u].ls][i] + g[T[u].rs][i],g[u][i] %= mod;
			return sz;
		} 
		else          //乘
		{
			sz = sz1 + sz2;
			for(int i=1;i<=sz1;i++)
			{
				for(int j=1;j<=sz2;j++)
				{
					g[u][i+j] += g[T[u].ls][i]*g[T[u].rs][j]; 
					g[u][i+j] %= mod;
				}
			}
			return sz;
		}
	}
}

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin>>n;
	jc[0] = 1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>a[i],res+=a[i];
		jc[i]=jc[i-1]*i%mod;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) f[i][0] = 1;
		f[1][1] = a[1];
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=i;j++)
		{
			f[i][j]= f[i-1][j] + j*a[i]%mod*f[i-1][j-1] %mod;
			f[i][j] %= mod; 
		}
	}
	for(int i=1;i<2*n;i++)
	{
		cin>>op;
		if(op)
		{
			cin>>T[i].ls>>T[i].rs>>u;
			if(u[0]=='+') T[i].cur = 0;
			else T[i].cur = 1;
			T[i].lf = 1;
		}
	}
	dfs(1);
	LL res=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		res +=f[n][i]*g[1][i]%mod*jc[n-i]%mod;
	}
	cout<<res%mod<<endl;
	return 0;
}