数据结构之并查集

  并查集的精髓（即它的三种操作，结合实现代码模板进行理解）：

1、Make_Set(x) 把每一个元素初始化为一个集合

初始化后每一个元素的父亲节点是它本身，每一个元素的祖先节点也是它本身（也可以根据情况而变）。

2、Find_Set(x) 查找一个元素所在的集合

查找一个元素所在的集合，其精髓是找到这个元素所在集合的祖先！这个才是并查集判断和合并的最终依据。
判断两个元素是否属于同一集合，只要看他们所在集合的祖先是否相同即可。
合并两个集合，也是使一个集合的祖先成为另一个集合的祖先，具体见示意图

3、Union(x,y) 合并x,y所在的两个集合

合并两个不相交集合操作很简单：
利用Find_Set找到其中两个集合的祖先，将一个集合的祖先指向另一个集合的祖先。如图

l         并查集的优化

1、Find_Set(x)时 路径压缩
寻找祖先时我们一般采用递归查找，但是当元素很多亦或是整棵树变为一条链时，每次Find_Set(x)都是O(n)的复杂度，有没有办法减小这个复杂度呢？
答案是肯定的，这就是路径压缩，即当我们经过"递推"找到祖先节点后，"回溯"的时候顺便将它的子孙节点都直接指向祖先，这样以后再次Find_Set(x)时复杂度就变成O(1)了，如下图所示；可见，路径压缩方便了以后的查找。

2、Union(x,y)时 按秩合并
即合并的时候将元素少的集合合并到元素多的集合中，这样合并之后树的高度会相对较小。

l         主要代码实现

 1int father[MAX];   /* father[x]表示x的父节点*/
 2int rank[MAX];     /* rank[x]表示x的秩*/
 3
 4
 5/* 初始化集合*/
 6void Make_Set(int x)
 7{
 8    father[x] = x; //根据实际情况指定的父节点可变化
 9    rank[x] = 0;   //根据实际情况初始化秩也有所变化
10}
11
12
13/* 查找x元素所在的集合,回溯时压缩路径*/
14int Find_Set(int x)
15{
16    if (x != father[x])
17    {
18        father[x] = Find_Set(father[x]); //这个回溯时的压缩路径是精华
19    }
20    return father[x];
21}
22
23
24/* 
25   按秩合并x,y所在的集合
26   下面的那个if else结构不是绝对的，具体根据情况变化
27   但是，宗旨是不变的即，按秩合并，实时更新秩。
28*/
29void Union(int x, int y)
30{
31    x = Find_Set(x);
32    y = Find_Set(y);
33    if (x == y) return;
34    if (rank[x] > rank[y]) 
35    {
36        father[y] = x;
37    }
38    else
39    {
40        if (rank[x] == rank[y])
41        {
42            rank[y]++;
43        }
44        father[x] = y;
45    }
46}
47

假如已知有n个人和m对好友关系（存于数字r）。如果两个人是直接或间接的好友（好友的好友的好友...），则认为他们属于同一个朋友圈，请写程序求出这n个人里一共有多少个朋友圈。

假如：n = 5 ， m = 3 ， r = {{1 , 2} , {2 , 3} , {4 , 5}}，表示有5个人，1和2是好友，2和3是好友，4和5是好友，则1、2、3属于一个朋友圈，4、5属于另一个朋友圈，结果为2个朋友圈。

最后请分析所写代码的时间、空间复杂度。评分会参考代码的正确性和效率。

C/C++：

int friends(int n , int m , int* r[]);

Java:

int friends(int n , int m , int[][] r);

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1. // 简单的并查集应用  
2. int set[10001];  
3.   
4. inline int find(int x)           //带路径优化的并查集查找算法  
5. {  
6.     int i , j , r;  
7.     r = x;  
8.     while(set[r] != r)   
9.         r = set[r];  
10.     i = x;  
11.     while(i != r)   
12.     {  
13.         j = set[i];  
14.         set[i] = r;  
15.         i = j;  
16.     }  
17.     return r;  
18. }  
19. inline void merge(int x , int y)     //优化的并查集归并算法  
20. {  
21.     int t = find(x);  
22.     int h = find(y);  
23.     if(t < h)  
24.         set[h] = t;  
25.     else  
26.         set[t] = h;  
27. }  
28.   
29. int friends(int n , int m , int* r[])  
30. {  
31.     int i , count;  
32.     for(i = 1 ; i <= n ; ++i)    //初始化并查集，各点为孤立点，分支数为n   
33.         set[i] = i;  
34.     for(i = 0 ; i < m ; ++i)  
35.         merge(r[i][0] , r[i][1]);  
36.     count = 0;  
37.     for(i = 1 ; i <= n ; ++i)  
38.     {  
39.         if(set[i] == i)  
40.             ++count;  
41.     }  
42.     return count;  
43. }