数学甜点002 |轮换式、对称式中的变形——从一道“饱受争议”的伊朗数学奥林匹克谈起（1）

轮换式和对称式

说到恒等式变形，还不得不从最基本的轮换式和对称式开始说起。

1. 轮换式
   如果一个多项式中的变量字母按照任何次序轮换后，原多项式不变，那么称该多项式是轮换多项式，简称轮换式。举个例子吧：
   $$f(a,b,c)=ab+bc+ca$$
   如果要说明这个式子是轮换式，那么根据定义，这等价于证明：
   $$f(a,b,c)=f(b,c,a)=f(c,a,b)$$
   而这是显然成立的。
   类似的轮换式还有：
   $$\begin{gathered} f_1(a,b,c)=a^2{b}^2{c}^2 \\ {f}_2(a,b,c)=a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a \\ {f}_3(a,b,c)=a^{100}+b^{100}+c^{100} \\ \dots \end{gathered}$$
   为了方便起见，我们将轮换的和式和积式记为$\sum _{cyc}f(x),\prod _{cyc}g(x)$，比如：
   $$\begin{gathered} f_1(a,b,c)=\prod \\ {f}_2(a,b,c)=\sum _{cyc}{a}^{2}b, \\ {f}_3(a,b,c)=\sum _{cyc}{a}^{100} \end{gathered}$$

2. 对称式
   在一个含有若干个元的多项式中，如果任意交换两个元的位置，多项式不变，这样的多项式叫做对称多项式。还是先举个例子：
   $$f(a,b,c)=a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2$$
   不难发现，$f(a,b,c)=f(b,a,c)=f(a,c,b)=f(c,b,a)=a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2$，所以这个多项式是对称的。
   为了方便起见，我们将轮换的和式和积式记为$$\sum _{sym}f(x),\prod _{sym}g(x).$$
   通过这种变换，我们可以将$f(a,b,c)\to f(b,a,c)\to f(b,c,a)$，而这正是一次“轮换”变换。
   所以，对称式一定是轮换式，但是轮换式不一定是对称式。我们把对称式又称作轮换对称式。

3. 轮换式的运算技巧
   $$\sum _{cyc}f(a)+\sum _{cyc}g(a)=\sum _{cyc}[f(a)+g(a)]$$（和的运算）
   $$(\sum _{cyc}f(a))\cdot (\sum _{cyc}g(a))=\sum _{cyc}[(\sum _{cyc}g(a))\cdot f(a)]$$（积的运算）

有了这些技巧，在展开轮换式的过程中就不会那么“头疼了”。

---

结束语（凑字数专用） ：

欢迎大家关注我的博客！

我的洛谷账号：这是我

我的洛谷团队：这是我的团队

欢迎大家关注我，并加入我的团队哦^ _ ^