算法基础（一）（共有25道例题，大多数为简单题）

一、枚举（Enumerate）算法

定义：就是一个个举例出来，然后看看符不符合条件。
举例：一个数组中的数互不相同，求其中和为0的数对的个数。

for (int i = 0; i < n; ++i)
  for (int j = 0; j < i; ++j)
    if (a[i] + a[j] == 0) ++ans;

例题1：计数质数

题目 难度：中等

1. 方法1：枚举（会超时）
   考虑到如果 y 是 x 的因数，那么$\frac{x}{y}$也必然是 x 的因数，因此我们只要校验 y 或者$\frac{x}{y}$即可。而如果我们每次选择校验两者中的较小数，则不难发现较小数一定落在$[2,\sqrt{x}]$的区间中，因此我们只需要枚举$[2,\sqrt{x}]$中的所有数即可。

class Solution {
   
public:
    bool isPrime(int x) //判断x是否是质数
    {
   
        for (int i = 2; i * i <= x; ++i) 
        {
   
            if (x % i == 0) 
            {
   
                return false;//不是质数
            }
        }
        return true;//是质数
    }

    int countPrimes(int n) {
   
        int ans = 0;
        for (int i = 2; i < n; ++i) {
   
            ans += isPrime(i);
        }
        return ans;
    }
};

2. 方法2：埃氏筛
   如果 x 是质数，那么大于 x 的倍数 2x,3x,…一定不是质数，因此我们可以从这里入手。

class Solution 
{
   
public:
    int countPrimes(int n) 
    {
   
        vector<int> isPrime(n, 1);//一开始全标记为1
        int ans = 0;
        for (int i=2; i<n; ++i) 
        {
   
            if (isPrime[i]) 
            {
   
                ans += 1;//2，3必是质数               
                for (int j=2*i; j<n; j+=i) 
                {
   
                    isPrime[j]=0;
                    //i是质数，i的倍数(j)肯定不是质数，赋值为0
                }                
            }
        }
        return ans;
    }
};

例题2：等差素数列

题目 难度：简单

#include <iostream>
using namespace std;

//判断n是否是素数
int check(int n)
{
   
  for(int i=2;i<n;i++)
  {
   
    if(n%i==0) return 0;//不是素数
  }
  return 1;//是质数
}

int main()
{
   
  int len=0;
  int gc;//公差
  int num;//序列的第一个数
  int ans=0;

  for(num=2;num<=1000;num++)
  {
   
    if(check(num))//检查第一个数字是不是素数
    {
   
      for(gc=1;gc<=1000;gc++)//从1开始枚举公差
      {
   
        for(int j=1;j<1000;j++)
        {
   
          if(check(num+j*gc)) ans++;//代表是素数
          else 
          {
   
            ans=0;
            break;//推出当前for循环
          }
          if(ans==9) //从0开始计数，ans=0时就已经有一个
          {
   
            cout<<gc;
            return 0;
          }
        }
      }
    }
  }
  return 0;
}

例题3：统计平方和三元组的数目

题目 难度：简单

class Solution {
   
public:
    int countTriples(int n) 
    {
   
        int ans=0;
        for(int a=1;a<=n;a++)
        {
   
            for(int b=a+1;b<+n;b++)
            {
   
                for(int c=b+1;c<=n;c++)
                {
   
                    if(a*a+b*b==c*c) ans+=1;                   
                }
            }
        }
        return ans*2;
    }
};

例题4：算术三元组的数目

题目 难度：简单

1. 方法1：暴力

class Solution {
   
public:
    int arithmeticTriplets(vector<int>& nums, int diff) 
    {
   
        int size=nums.size();
        int num=0;//算术三元组的数目

        for(int i=0;i<size;i++)
        {
   
            for(int j=i+1;j>i&&j<size;j++)
            {
   
                if(nums[j]-nums[i]==diff)
                {
   
                    for(int k=j+1;k>j&&k<size;k++)
                    {
   
                        if(nums[k]-nums[j]==diff) 
                        {
   
                            num=num+1;
                            break;//退出当前for（k）循环
                        }
                        else continue;
                    }
                } 
                else continue;           
            }
        }
        return num;    
    }
};

2. 方法2：哈希表，用哈希表记录每个元素，然后遍历 nums，看 nums[j]−diff 和 nums[j]+diff 是否都在哈希表中。

class Solution {
   
public:
    int arithmeticTriplets(vector<int>& nums, int diff) {
   
        int n = nums.size();
        unordered_set<int> st;
        for (int x : nums) st.insert(x);//将nums数组里的值插入到哈希表st中    
            
        int ans = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) 
        {
   
            if (st.count(nums[i] +diff) > 0 && st.count(nums[i] + 2*diff) > 0) 
            {
   
                ans++;
            }
        }
        return ans;
    }
};

例题5：公因子的数目（会）

题目 难度：简单

class Solution {
   
public:
    int commonFactors(int a, int b) 
    {
   
        int min_data=min(a,b);//找a,b之间的最小值
        int num;
        for(int i=1;i<=min_data;i++)//公因数一定小于a和b的最小值
        {
   
            if(a%i==0&&b%i==0)//公因子的定义
            {
   
                ++num;
            }
        }
        return num;        
    }
};

例题6：买钢笔和铅笔的方案数（会）

题目 难度：中等

class Solution {
   
public:
    long long waysToBuyPensPencils(int total, int cost1, int cost2) 
    {
   
        int total1=total/cost1;//最多买几支钢笔
        int total2=total/cost2;//最多买几支铅笔
        long long num=0;
        for(int i=0;i<=total1;i++)
        {
                   
            if(total-i*cost1>=0)//买完钢笔后还能买几只铅笔
            {
   
                int new_total=total-i*cost1;
                num+=new_total/cost2; 
                num=num+1; 
            }        
        }
        return num;
    }
};

例题7：个位数字为 K 的整数之和（不会）

题目 难度：中等

class Solution {
   
public:
    int minimumNumbers(int num, int k) 
    {
   
        if(num==0) return 0;//当 num=0时，唯一的方法是选择一个空集合，答案为0
        for(int i=1;i<=10;i++)//num>0时，我们可以发现最多不会选择超过10个数。
        //这是因为如果这些数的个位数字为 k，并且我们选择了至少 11个数，由于11*k(10*k+k)的个位数字也为k，那么我们可以把任意的11个数合并成1个，使得选择的数仍然满足要求，并且集合更小。
        {
   
            if(i*k<=num&&(num-i*k)%10==0) return i;
            //i*k<=num:由于每个数最小为 k，那么这 i 个数的和至少为 i⋅k。如果i⋅k>num，那么无法满足要求。
            //这 i 个数的和的个位数字已经确定，即为 i*k mod 10。
            //我们需要保证其与 num 的个位数字相同，这样 num−i⋅k 就是 10 的倍数，我们把多出的部分加在任意一个数字上，都不会改变它的个位数字。
        } 
        return -1;      
    }
};

二、模拟算法

定义：模拟就是用计算机来模拟题目中要求的操作。

例题8：爬动的蠕虫

题目 难度：简单

#include <iostream>
using namespace std;
#include <algorithm>

int main()
{
   
    int n,u,d;
    cin>>n>>u>>d;
    int x=0;//爬的高度
    int num=0;//爬的分钟数
    while (true) 
    {
     // 用死循环来枚举
        x += u;
        num++;//爬一分钟
        if (x>= n) break;  // 满足条件则退出死循环
        num++;//休息一分钟
        x -= d;
    }
    cout<<num;
    return 0;
}

例题9：基于排列构建数组

题目 难度：简单

class Solution {
   
public:
    vector<int> buildArray(vector<int>& nums) 
    {
   
        int size=nums.size();
        vector<int> ans(size,0);

        for(int i=0;i<size;i++)
        {
   
            ans[i]=nums[nums[i]];
        }
        return ans;
    }
};

例题10：方程整数解

题目 难度：简单

#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
   
  // 请在此输入您的代码
  for(int i=1;i<1000;i++)
  {
   
    for(int j=i;j<1000;j++)
    {
   
      for(int k=j;k<1000;k++)
      {
   
        if(i*i+j*j+k*k==1000&&i!=6&&j!=8&&k!=30)
        {
   
          cout<<min(min(i,j),k);
          return 0;
        }
      }
    }
  }
  return 0;
}

例题11：等差数列

题目 难度：简单

#include <iostream>
using namespace std;
#