XTU 1274 Matrix（逆元，推公式）_127模1012的逆元-优快云博客

这篇博客探讨了XTU 1274 Matrix问题，涉及矩阵中第一列元素的累加和规律。通过观察发现偶数行的值与平方数相关，奇数行的值与平方数加1有关。作者指出在处理大数时需注意取模运算，并提到了逆元在解决此类问题中的应用。

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矩阵

http://202.197.224.59/exam/index.php/problem/read/id/1274

题目描述

我们把1∼N2按下面矩阵的规律进行排列：

145161736⋯236151835987141934101112132033252423222132262728293031

请求第一列的累加和。

输入

每行一个整数N(1≤N≤109)，如果N=0表示输入结束，这个样例不需要处理。

输出

每行输出一个样例的结果，因为这个值可能很大，请将其对1,000,000,007取模。

样例输入

1
2
3
1000000000
0

样例输出

1
5
10
499999881

思路：
我们可以看到最左一列，偶数行的值为4、16、36，容易联想到2²，4²，6²；
而奇数行的值为1，5，17，容易联想到0²+1，2²+1，4²+1；
由此不难推出输入x时得到的值的关系。

该题坑点在于，若不提前对mod取模，会爆LL，解决方法是求逆元（当然也可以用大数）。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll  __int64
const ll mod = 1e9+7;
ll qmod(ll x, ll p)//快速幂求逆元
{
    ll ans = 1;
    while(p)
    {
        if(p%2) ans = ans*x%mod;
        x = x*x%mod;
        p /= 2;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    ll a;
    ll e = 500000004;
    ll s = 333333336;
    while(scanf("%I64d",&a)!=EOF&&a)
    {
        ll ans = a*(a+1)%mod*e%mod*(2*a+1)%mod*s%mod;
        ans -= (4 + (a-1)*2)*(a-1)/4;
        if(a%2==0)  ans+=(a-1);
        while(ans<0)
            ans = (ans+mod)%mod;
        cout<<ans<<'\n';
    }
    return 0;
}
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