6、Coded - BKW：使用格码解决LWE问题

Coded - BKW：使用格码解决LWE问题

1. 新LWE求解算法主要步骤

新的LWE求解算法主要包含以下几个关键步骤：
- 标准BKW约简
- 编码BKW约简
- 部分猜测
- 子空间假设检验

下面将详细介绍每个步骤。

2. 标准BKW约简

之前描述的编码BKW方法在每次迭代中会引入不断增长的噪声，因此先进行若干次纯BKW约简是合理的。我们首先执行$t_1$个标准BKW步骤，以平衡合并增加的噪声和编码引入的噪声。此步骤会将底部$t_1 \cdot b$位清零。具体操作如下：
给定高斯消元的输出，即$\hat{z}$和$\hat{A} = (IL_0)$，我们仅处理$\hat{A}$的非系统部分$L_0$。与其他BKW过程类似，在每一步中，我们按最后$b$个未处理的条目对向量进行排序，从而将总样本最多划分为$q^{b - 1}/2$个类。然后，将同一类中的样本合并（相加或相减），使考虑的$b$个条目为零，形成新的样本作为下一个BKW步骤的输入，如$L_1, L_2$等。此步骤的输出是一个矩阵$(IL_t)$，其中$L_t$每列的最后$t_1b$个条目都为零。收集矩阵$L_t$的前$n - t_1b$行，并在前面添加单位矩阵，我们得到一系列维度为$n - t_1b$的新LWE样本。此步骤的复杂度为：
[C_1 = \sum_{i = 1}^{t_1} (n + 1 - ib)(m - i(q^b - 1)/2)]

3. 编码