王道书第二章应用题12【2013统考真题】

已知一个整数序列A = (a0,a1,...,an-1),其中0<=ai<n(0<=i<n).若存在ap1 = ap2 = ...=apm = x且m>n/2(0<=pk<n,1<=k<=m),则称x为A的主元素。（就是数组中存在大于n/2个元素都等于x）.例如：A = （0，5，5，3，5，7，5，5），则5为主元素；又如A = (0,5,5,3,5,1,5,7),则A中没有主元素。假设A中的n个元素保存在一个一维数组中，请设计出一个尽可能高效的算法，找出A的主元素。若存在主元素，则输出该元素；否则输出-1.要求：

（1）给出算法的基本设计思想。

（2）根据设计思想，采用C或C++或java语言描述算法，关键之处给出注释

（3）说明你所设计的算法的时间复杂度和空间复杂度

（1）算法的主要设计思想：算法的策略是从前往后扫描数组元素，标记出一个可能成为主元素的元素Num。然后重新计数，确认Num是否是主元素。

算法分为两步：

1.选取候选的主元素。依次扫描所给数组中的每一个整数，将第一个遇到的整数Num保存到c中，记录Num出现的次数为1；若遇到的下一个整数仍等于Num,则计数加1，否则计数减1；当计数减到0时，将遇到的下一个整数保存到c中，计数重新记为1，开始新一轮计数，即从当前位置开始重复上述过程，直到扫描完全部数组元素（因为主元素的个数肯定大于数组元素个数的一半，若是Num加1，若不是Num则减1，若是主元素，那么Num肯定不会是0，就算主元在前面一部分，然后Num减到0，换成其他元素，因为其他元素个数肯定要小于数组元素一半，那么其迟早减到0，后面部分肯定是主元素，那么主元素的Num肯定不为0）

2.判断c中元素是否是正真的主元素。再次扫描该数组，统计c中元素出现的次数，若大于n/2，则为主元素；否则，序列不存在主元素。例如该例子：A = (0,5,5,3,5,1,5,7)，Num = 1，也是大于0，所以需要验证

int Majority(int *A,int n)
{
  int i,c,count = 1;//c是用来存放记录数组A中的某一元素，若是主元素就输出c，这样就不需要再找
  c = A[0];//首先把数组A的第一个元素赋给c，设置A[0]为主元素，一步步向后扫描
  for(i = 1; i < n; ++i)//查找候选主元素
  {
    if(c == A[i])
		count++;//对A中的候选主元素计数，若是相等则加1
	else
	{
	  if(count > 0)//规定要count为0的时候换元素，若count大于0肯定要继续扫描
		  count--;
	  else
      {
	     c = A[i];//若是count=0,那么就将此时不和候选主元素相同的元素作为候选主元素
		 count = 1;//因为此时有一个元素，故count = 1

	}
  }
}
  if(count > 0)//来验证候选主元素是否为真正的主元素
  {
    for(i=count=0; i<n; ++i)//首先规定count和i为0，从头开始统计数组中和候选主元素相等元素的个数
	{
	  if(A[i] == c)
		  count++;
	}
  }
  if(count>n/2)
	  return c;//如果大于n/2，那么就是主元素
  else
	  return -1;//不存在主元素

}

(3)时间复杂度为O(n)(总共扫描元素为2n次，所以时间复杂度为O(n)),没有使用除该空间的其他额外空间，所以空间复杂度为O(1) 

完整代码

//假设整数序列为10个数
#include<stdio.h>
//函数说明
int Majority(int *A,int n);
int main(void)
{
  int A[10] = {1,3,0,1,1,8,1,1,1,9};
  int x = Majority(A,10);
  if(-1 == x)
	  printf("没有主元素\n");
  else
	  printf("主元素为：%d\n",x);
  return 0;
}

int Majority(int *A,int n)
{
  int i,c,count = 1;
  c = A[0];
  for(i = 1; i < n; ++i)
  {
    if(c == A[i])
		count++;
	else
	{
	  if(count > 0)
		  count--;
	  else
      {
	     c = A[i];
		 count = 1;

	}
  }
}
  if(count > 0)
  {
    for(i=count=0; i<n; ++i)
	{
	  if(A[i] == c)
		  count++;
	}
  }
  if(count>n/2)
	  return c;
  else
	  return -1;

}