中科院软件所1997年一道考研题

设m,n均为自然数，m可表示为一些不超过n的自然数之和，f(m,n)为这种表示的数目。例如f(5,3)有五种表达方式：3+2， 3+1+1， 2+2+1， 2+1+1+1， 1+1+1+1+1。小编自己在做题的时候就被这个例子混淆，认为输出的就是m，因此需要看题谨慎。

以下是该函数的程序段，请将未完成的部分填入，使之完整

1. int f(m,n)
2.   int m,n;
3. { if(m==1)
4.          return 1;
5.   if(n==1)
6.          return 1 ;        
7.   if(m<n)
8.      {return f(m,n);}
9.   if(m==n)
10.      {return 1+f(m,n-1);}
11.   return f(m,n-1)+f(m-n,n);
12. }

红色是需要填入的

执行程序，f(6,4) = 9

这是小编写的代码，为了验证是否正确

#include<stdio.h>
int f(int m,int n)
{
  if(1 == m)
	  return 1;
  if(1 == n)
	  return 1;
  if(m < n)
	  return f(m,m);
  if(m == n)
	  return 1+f(m,n-1);
  else
      return f(m,n-1)+f(m-n,n);
}
int main(void)
{
  int m,n;
  printf("请输入两个自然数：\n");
  scanf("%d%d",&m,&n);
  int x = f(m,n);
  printf("该种表达式数目：\n");
  printf("%d\n",x);
  return 0;
}

 以下是小编的见解，为什么要这样可以计算出该种表达式的数目？

1. if(m==1),表示一些不超过n的自然数之和不超过1，那么就只有1，故返回1
2. if(n==1),表是不超过1的自然数之和，那么也只有1，故返回1
3. if(m<n)  return f(m,m); 因为m表示的是不超过n的自然数之和,因为m<n，所以大于m的数根本不可能用的上，只能用小于等于m的自然数，所以直接将大于m的那些数除去，所以返回的是f(m,m),这样就可以使用递归，一步一步的向前面1，2转换，这样就可以输出数目
4. if(m==n)    return 1+f(m,n-1);因为m=n，所以肯定有一个“n这个数本身就等于m,即 n=m”就是这种表达方式的一个，所以要加上1；n-1 就表示只能取小于等于n-1的自然数之和等于m；如：a+b+... = m; a,b...都是小于等于n-1的自然数
5. else   return  f(m,n-1)+f(m-n,n);表示的就是if(m>n)  return  f(m,n-1)+f(m-n,n);分为了两部分，第一部分 f(m,n-1)用小于等于n-1的自然数之和等于m，这时候肯定还有第二部分，因为n这个自然数没有使用，所以就有了第二部分f(m-n,n),为什么是m-n？因为第二部分一直使用n这个自然数，如n+a+b = m;   n+c+d = m等等；a,b,c,d可以是小于等于n的任何自然数；所以a+b=m-n; c+d = m-n等等；所以第二部分是返回f(m-n,n);

f(6,4)的过程图：

 

程序运行结果：