LeetCode-142. 环形链表 II

1、题目描述：

给定一个链表的头节点  head ，返回链表开始入环的第一个节点。 如果链表无环，则返回 null。

如果链表中有某个节点，可以通过连续跟踪 next 指针再次到达，则链表中存在环。 为了表示给定链表中的环，评测系统内部使用整数 pos 来表示链表尾连接到链表中的位置（索引从 0 开始）。如果 pos 是 -1，则在该链表中没有环。注意：pos 不作为参数进行传递，仅仅是为了标识链表的实际情况。

不允许修改 链表。

示例 1：

输入：head = [3,2,0,-4], pos = 1
输出：返回索引为 1 的链表节点
解释：链表中有一个环，其尾部连接到第二个节点。

示例 2：

输入：head = [1,2], pos = 0
输出：返回索引为 0 的链表节点
解释：链表中有一个环，其尾部连接到第一个节点。

示例 3：

输入：head = [1], pos = -1
输出：返回 null
解释：链表中没有环。

提示：

• 链表中节点的数目范围在范围 [0, 104] 内
• -105 <= Node.val <= 105
• pos 的值为 -1 或者链表中的一个有效索引

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2、代码：

/**
 * Definition for singly-linked list.
 * struct ListNode {
 *     int val;
 *     ListNode *next;
 *     ListNode(int x) : val(x), next(NULL) {}
 * };
 */
class Solution
{
public:
    ListNode* detectCycle(ListNode* head)
    {
        ListNode *fast = head, *slow = head;
        // 先判断是否有环
        do {
            if (!fast || !fast->next)
                return nullptr;
            fast = fast->next->next;
            slow = slow->next;
        } while (fast != slow);

        // fast == slow, 开始寻找环的最初点
        slow = head;
        while (fast != slow) {
            fast = fast->next;
            slow = slow->next;
        }

        // 再次出现 fast == slow，代表找到环的起点
        return fast;
    }
};

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3、解题思路：

1. 快慢指针检测环的存在 ：

   • 使用两个指针：slow和fast。
   • 慢slow每次移动一步，fast每次移动两步。
   • 如果链表中存在环，slow 和 fast一定会在环内相遇。
   • 如果链表中不存在环，fast或fast->next会先变为nullptr。

2. 寻找环的入口节点 ：

   • 当slow和fast相遇时，说明链表中存在环。
   • 此时，将一个指针重新指向链表头节点 head，另一个指针保持在相遇点。
   • 两个指针每次都只移动一步，当它们再次相遇时，相遇点就是环的入口节点。

3. 数学证明 ：

   • 假设链表起点到环入口的距离为a，环的长度为 b。
   • 当slow和fast第一次相遇时，fast走过的距离是slow的两倍
   • 设 slow走了 s步，则fast走了2s步。
   • 根据环的性质，2s = s + nb（nb是环的整数倍），所以s = nb。
   • 环的入口节点需要再走 a 步才能到达，因此从头节点出发的指针和从相遇点出发的指针同步移动，最终会在环入口处相遇。 

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4、疑问点：

(1)为什么 2s = s + nb ?

当快慢指针在环中相遇时，快指针比慢指针多走的步数是环长度的整数倍 ，因此快指针走的总步数 2s 等于慢指针走的总步数 s 加上若干圈环的长度 nb，即 2s = s + nb。

(2)为什么从头节点和相遇点同步移动会在环入口处相遇 ？

假设环外的长度是a，环内的部分，假设相遇点距离入口的距离是k，剩下的环长度是c。

那整个环的长度是：b = k + c。

当快慢指针相遇时，慢指针走了a + k步，而快指针走了a + k + n*(k + c)，其中n是快指针在环中绕的圈数。

因为快指针的速度是慢指针的两倍，所以总路程也是两倍。

所以有等式：2(a + k) = a + k + n*(k + c)。

简化得到

        a + k = n*(k + c)  == > a = (n-1)*(k +c) + c。==>a = (n-1) * b + c

这说明，当从相遇点出发，走c步就会到达入口点，而c也就是剩下的环的长度部分。

这时候，如果让一个指针从head开始，另一个从相遇点开始，每次各走一步。那么当它们相遇时，就是环的入口点。

因为此时，一个走了a步，另一个走了c + (n-1)*b步，即总长度等于a。这样就刚好在入口相遇。