二、连续时间系统的时域分析

前言

以下内容是关于连续系统的时域分析，重点难点，考试常考，考前复习。

一、系统的微分方程及其响应

1、LTI系统的微分方程

描述线性时不变（LTI）系统的输入–输出特性的是常系数线性微分方程

时域分析方法：从系统的模型（微分方程）出发，在时域研究输入信号通过系统响应后的变化规律，是研究系统时域特性的重要方法。

对于电系统，建立其微分方程的依据：
$$\begin{gathered} KCL:\sum i(t)=0 \\ KVL:\sum u(t)=0 \\ VCR:U_R(t)=R\cdot i(t),u_L(t)=L\cdot \frac{di(t)}{dt},i_C(t)=C\cdot \frac{du(t)}{dt} \end{gathered}$$

对于图（a）中RC电路
$$\begin{gathered} RC\cdot \frac{d{u}_C(t)}{dt}+u_C(t)=u_S(t) \\ 即:u_C^{\prime }(t)+\frac{1}{RC}\cdot u_C(t)=\frac{1}{RC}\cdot u_S(t) \end{gathered}$$
对于图（b）中RL电路
$$\begin{gathered} \frac{L\cdot d{i}_L(t)}{R\cdot dt}+i_L(t)=i_S(t) \\ 即:i_L^{\prime }(t)+\frac{R}{L}\cdot i_L(t)=\frac{R}{L}\cdot i_S(t) \end{gathered}$$
以上可以总结出一般形式：$y^{\prime }(t)+ay(t)=\chi (t)$

2、系统的响应

2.1、零输入响应（储能响应）

从观察的初始时刻起不再施加输入信号，仅由该时刻系统本身的起始储能状态引起的响应称为零输入响应（ZIR）

2.2、零状态响应（受激响应）

当系统的储能状态为零时，由外加激励信号（输入）产生的响应称为零状态响应（ZSR）

对于一阶系统方程
$$y^{\prime }(t)+ay(t)=\chi (t)$$
零状态响应：
$$y_{ZS}(t)={\mathrm{e}}^{-\mathrm{at}}{\int }_{0-}^{\mathrm{t}}\chi (\mathrm{t}){\mathrm{e}}^{\mathrm{a}\tau }\mathrm{d}\tau ,(\mathrm{t}\ge 0)$$

2.3、完全响应

$$y(t)=y_{ZI}(t)+y_{ZS}(t),[全响应=零输入+零状态]$$

2.4、例一($y^{\prime \prime }(t)+6y^{\prime }(t)+8y(t)=f(t),t>0$)

已知某二阶线性连续时间系统的动态方程：
$$\begin{gathered} y^{\prime \prime }(t)+6y^{\prime }(t)+8y(t)=f(t),t>0 \\ 初始条件：y(0_{-})=1,y^{\prime }(0_{-})=2,求系统的零输入响应 \end{gathered}$$
解：

$$\begin{gathered} 系统的特征方程：s^2+6s+8=0,特征根：s_1=-2，s_2=-4 \\ 故系统的零输入响应：y_X(t)=k_1{e}^{-2t}+k_2{e}^{-4t},t>0 \\ {y}_X(0_{+})=y_X(0_{-})=y_X(0)=k_1+k_2=1 \\ {y}^{\prime }(0)=y_X^{\prime }(0_{-})=-2k_1-4k_2=2 \\ {y}_X(0)和y^{\prime }(0)代入可解出：k_1=3，k_2=-2 \end{gathered}$$

可得零输入响应：$y_X(t)=3e^{-2t}-2e^{-4t},t\ge 0$

2.5、例二($y^{\prime \prime }(t)+3y^{\prime }(t)+2y(t)=2f^{\prime }(t)+6f(t),t>0$)

$$\begin{gathered} y^{\prime \prime }(t)+3y^{\prime }(t)+2y(t)=2f^{\prime }(t)+6f(t),t>0 \\ 初始条件：y(0_{-})=2,y\prime (0_{-})=0,f(t)=ϵ(t), \\ 求系统的零输入响应和零状态响应 \end{gathered}$$
解：
$(1)零输入响应y_X(t)激励为0，故y_X(t)满足$

$$\begin{gathered} y_X^{\prime \prime }(t)+3y_X^{\prime }(t)+2y_X(t)=0 \\ 系统的特征方程：s^2+3s+2=0,特征根：s_1=-2，s_2=-1 \\ 故系统的零输入响应：y_X(t)=k_1{e}^{-2t}+k_2{e}^{-t},t>0 \\ {y}_X(0_{+})=y_X(0_{-})=y_X(0)=2 \\ {y}^{\prime }(0)=y_X^{\prime }(0_{-})=0 \\ {y}_X(0)和y^{\prime }(0)代入可解出：k_1=4，k_2=-2 \end{gathered}$$

可得零输入响应：$y_X(t)=4e^{-t}-2e^{-2t},t>0$

$(2)零状态响应y_f(t)满足$
$$y_f^{\prime \prime }(t)+3y_f^{\prime }(t)+2y_f(t)=2\delta (t)+6ϵ(t),并有y_f(0_{-})=y_f(0_{+})=0$$
$$\begin{gathered} 由于上式等号右端含有\delta (t),故y_f^{\prime \prime }(t)含有\delta (t)，从而y_f^{\prime }(t)跃变,即y_f^{\prime }(0_{+})\ne y_f^{\prime }(0_{-}) \\ 而y_f(t)在t=0处连续，即y_f(0_{-})=y_f(0_{+})=0，上式两边积分有： \\ [y_f^{\prime }(0_{+})-y_f^{\prime }(0_{-})]+3[y_f(0_{-})-y_f(0_{+})]+2{\int }_{0-}^{0+}{y}_f(t)dt=2+6{\int }_{0-}^{0+}ϵ(t)dt \end{gathered}$$

整理得：$y_f^{\prime }(0_{+})=2+y_f^{\prime }(0_{-})=2$

对$t>0$时，有$y_f^{\prime \prime }(t)+3y_f^{\prime }(t)+2y_f(t)=6$

不难求出其齐次解为：$C_{f1}{e}^{-t}+C_{f2}{e}^{-2t},$其特解为常数$3$

$\therefore y_f(t)=C_{f1}{e}^{-t}+C_{f2}{e}^{-2t}+3$

代入初值求得：$y_f(t)=-4e^{-t}+e^{-2t}+3,t\ge 0$

2.6、响应的分类

分类标准	对应响应
响应的不同起因	储能响应、受激响应
系统的性质和输入信号的性质	自由响应（取决于系统性质，即特征根）、强迫响应（取决于输入信号的形式）
响应的变化形式	瞬态响应（t无限增大，响应趋于零）、稳态响应（响应恒定或为某个稳态函数）

二、阶跃响应

1、定义

LTI系统在零状态下，由单位阶跃信号引起的响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，记为$s(t)$

2、一阶系统方程的阶跃响应

对于一阶系统方程
$$y^{\prime }(t)+ay(t)=bϵ(t)$$
则零状态响应：
$$y_{ZS}(t)={\mathrm{e}}^{-\mathrm{at}}{\int }_{0-}^{\mathrm{t}}\chi (\mathrm{t}){\mathrm{e}}^{\mathrm{a}\tau }\mathrm{d}\tau ,(\mathrm{t}\ge 0)$$
则阶跃响应：
$$y(t)=s(t)={\mathrm{e}}^{-\mathrm{at}}{\int }_{0-}^{\mathrm{t}}\mathrm{b}ϵ(\mathrm{t}){\mathrm{e}}^{\mathrm{a}\tau }\mathrm{d}\tau =\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}\cdot (1-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{at}}),(\mathrm{t}\ge 0)$$

3、阶跃响应的测量

三、冲激响应

1、定义

储能状态为零的系统，在单位冲激信号作用下产生的零状态响应称为冲激响应，记为$h(t)$

2、一阶系统的冲激响应

对于一阶系统方程
$$y^{\prime }(t)+ay(t)=b\delta (t)$$
则冲激响应：
$$y(t)=h(t)={\mathrm{e}}^{-\mathrm{at}}{\int }_{0-}^{\mathrm{t}}\mathrm{b}\delta (\mathrm{t}){\mathrm{e}}^{\mathrm{a}\tau }\mathrm{d}\tau =\mathrm{b}\cdot {\mathrm{e}}^{-\mathrm{at}}\cdot ϵ(\mathrm{t})$$

3、例一（$y^{\prime \prime }(t)+5y^{\prime }(t)+6y(t)=f(t)$）

描述某系统的微分方程为$y^{\prime \prime }(t)+5y^{\prime }(t)+6y(t)=f(t)$，求其冲激响应$h(t)$

解：根据$h(t)$定义有$$\begin{gathered} h^{\prime \prime }(t)+5h^{\prime }(t)+6h(t)=\delta (t), \\ 并且有h^{\prime }(0_{-})=h(0_{-})=0，先求h^{\prime }(0_{+})和h(0_{+}) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 由于上式等号右端含有\delta (t),故h^{\prime \prime }(t)含有\delta (t)，从而h^{\prime }(t)跃变,即h^{\prime }(0_{+})\ne h^{\prime }(0_{-}) \\ 而h(t)在t=0处连续，即h(0_{-})=h(0_{+})=0，上式两边积分有： \\ [h^{\prime }(0_{+})-h^{\prime }(0_{-})]+5[h(0_{-})-h(0_{+})]+6{\int }_{0-}^{0+}h(t)dt=1 \end{gathered}$$

整理得：$h^{\prime }(0_{+})=1+h^{\prime }(0_{-})=1$

对$t>0$时，有$h^{\prime \prime }(t)+5h^{\prime }(t)+6h(t)=0$

不难求出其齐次解为：$C_1{e}^{-2t}+C_2{e}^{-3t},$

$\therefore h(t)=(C_1{e}^{-2t}+C_2{e}^{-3t})\cdot ϵ(t)$

代入初值求得：$h(t)=(e^{-2t}-e^{-3t})\cdot ϵ(t)$

4、例二（$y^{\prime \prime }(t)+5y^{\prime }(t)+6y(t)=f^{\prime \prime }(t)+2f^{\prime }(t)+3f(t)$）

描述某系统的微分方程为$y^{\prime \prime }(t)+5y^{\prime }(t)+6y(t)=f^{\prime \prime }(t)+2f^{\prime }(t)+3f(t)$，求其冲激响应$h(t)$

解：根据$h(t)$定义有
$$\begin{gathered} h^{\prime \prime }(t)+5h^{\prime }(t)+6h(t)={\delta }^{\prime \prime }(t)+2{\delta }^{\prime }(t)+3\delta (t) \\ \text{\hspace{1em}(1)} \end{gathered}$$
$并且有h^{\prime }(0_{-})=h(0_{-})=0，先求h^{\prime }(0_{+})和h(0_{+})$
由方程可知：$h(t)$中含有$\delta (t)$
故令：
$$\{\begin{array}{l}h(t)=a\delta (t)+P_1(t),[P_i(t)中为不含有\delta (t的函数)]\\ h^{\prime }(t)=a{\delta }^{\prime }(t)+b\delta (t)+P_2(t)\\ h^{\prime \prime }(t)=a{\delta }^{\prime \prime }(t)+b{\delta }^{\prime }(t)+c\delta (t)+P_3(t)\end{array}$$
代入式（1）整理得：
$$a{\delta }^{\prime \prime }(t)+(b+5a){\delta }^{\prime }(t)+(6a+5b+c)\delta (t)+P_1(t)+P_2(t)+P_3(t)={\delta }^{\prime \prime }(t)+2{\delta }^{\prime }(t)+3\delta (t)$$
利用$\delta (t)$系数匹配，得$a=1,b=-3,c=12$
$$h(t)=\delta (t)+P_1(t)\text{\hspace{1em}(2)}$$
$$h^{\prime }(t)={\delta }^{\prime }(t)-3\delta (t)+P_2(t)\text{\hspace{1em}(3)}$$
$$h^{\prime \prime }(t)={\delta }^{\prime \prime }(t)-3{\delta }^{\prime }(t)+12\delta (t)+P_3(t)\text{\hspace{1em}(4)}$$
$$\begin{gathered} 对式（3）从0_{-}到0_{+}积分h(0_{+})-h(0_{-})=-3 \\ 对式（4）从0_{-}到0_{+}积分h^{\prime }(0_{+})-h^{\prime }(0_{-})=12 \end{gathered}$$

对$t>0$时,有$h^{\prime \prime }(t)+5h^{\prime }(t)+6h(t)=0,特征根-2，-3$

不难求出其齐次解为：$C_1{e}^{-2t}+C_2{e}^{-3t},$

$\therefore h(t)=(C_1{e}^{-2t}+C_2{e}^{-3t})\cdot ϵ(t)$

代入初始条件$h(0_{+})=-3,h^{\prime }(0_{+})=12$求得：$h(t)=(3e^{-2t}-6e^{-3t})\cdot ϵ(t)$

$结合式（2），h(t)=\delta (t)+(3e^{-2t}-6e^{-3t})\cdot ϵ(t)$

5、阶跃响应与冲激响应的关系

$$\{\begin{array}{l}h(t)=\frac{ds(t)}{dt}\\ \\ s(t)={\int }_{-\infty }^{t}h(\tau )d\tau \end{array}$$

四、卷积及其应用

1、信号的时域分解与卷积积分

1.1任意信号的分解

$“0"$号脉冲高度$f(0)$，宽度$\Delta$，用$p(t)$表示为 $f(0)\Delta p(t)$

$“1"$号脉冲高度$f(\Delta )$，宽度$\Delta$，用$p(t-\Delta )$表示为 $f(\Delta )\Delta p(t-\Delta )$

$“-1"$号脉冲高度$f(-\Delta )$，宽度$\Delta$，用$p(t+\Delta )$表示为 $f(-\Delta )\Delta p(t+\Delta )$

$\widehat{f(t)}={\sum }_{n=-\infty }^{\infty }f(n\Delta )\Delta p(t-n\Delta )$

$$\underset{\Delta \to 0}{\lim }\widehat{f(t)}=f(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(\tau )\delta (t-\tau )d\tau$$

1.2任意信号作用下的零输入响应

根据$h(t)$定义：
$$\delta (t)⟹h(t)$$
由时不变性：
$$\delta (t-\tau )⟹h(t-\tau )$$
由齐次性：
$$f(\tau )\delta (t-\tau )⟹f(\tau )h(t-\tau )$$
由叠加性：
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(\tau )\delta (t-\tau )d\tau ⟹{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(\tau )h(t-\tau )d\tau$$
$$y_f(t)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(\tau )h(t-\tau )d\tau ,卷积积分$$

1.3卷积积分的定义

已知定义在区间$(-\infty ,+\infty )$上的两个函数$f_1(t)$和$f_2(t)$，则定义积分$f(t)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_1(\tau )f_2(t-\tau )d\tau$
为$f_1(t)$和$f_2(t)$的卷积积分，简称卷积；记为
$$f(t)=f_1(t)\ast f_2(t)$$
温馨提醒：$\tau$ 为积分变量，积分后的结果为关于 $t$ 的函数
$$y_f(t)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(\tau )h(t-\tau )d\tau =f_1(t)\ast h(t)$$

2、卷积的图解法

$$f_1(t)\ast f_2(t)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_1(\tau )f_2(t-\tau )d\tau$$
四步图解法：
（1）换元：$t换为\tau \to f_1(\tau ),f_2(\tau )$

（2）反转平移（折叠平移）：$f_2(\tau )反转\to f_2(-\tau ),再右移t\to f_2(-(\tau -t))=f_2(t-\tau )$【左加右减在$\tau$的里面】

（3）乘积：$f_1(\tau )f_2(t-\tau )$

（4）积分：$\tau$从$-\infty$到$+\infty$对乘积项积分

总结：图解法步骤比较繁杂，但是按照四步法“战略”就可以一步步把题目搞定。不过，图解法对于求某一时刻的卷积值还是比较方便的，对于简单的信号，通过画图就可以直观的求出某一时刻的卷积值。

五、卷积积分的性质

1、奇异（冲激）函数的卷积特性

1、$f(t)\ast \delta (t)=\delta (t)\ast f(t)=f(t)$

2、$f(t)\ast {\delta }^{\prime }(t)=f^{\prime }(t),f(t)\ast {\delta }^{(n)}(t)=f^{(n)}(t)$

3、$f(t)\ast ϵ(t)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(\tau )ϵ(t-\tau )d\tau ={\int }_{-\infty }^{t}f(\tau )d\tau$

$ϵ(t)\ast ϵ(t)=tϵ(t)$【重点关注】

2、卷积的微积分性质

3、卷积的时移特性

卷积的时移特性说白了就是：一个卷积积分，时间 $t$ 无论左移还是右移，其积分值等于相应函数左移或右移后的函数值。下面通过一个公式来说明：
若：$f(t)=f_1(t)\ast f_2(t),$
则：$$\begin{gathered} f_1(t-t_1)\ast f_2(t-t_2) \\ =f_1(t-t_1-t_2)\ast f_2(t) \\ =f_1(t)\ast f_2(t-t_1-t_2) \\ =f(t-t_1-t_2) \end{gathered}$$

总结

连续系统的时域分析，重点难点内容，多看、多做、多动手。

零输入、零状态、阶跃、冲激
卷积积分【重点关注】

本文作者：AXYZdong

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