礼物的最大价值，动态规划

礼物的最大价值问题是一个典型的动态规划问题。假设有一个 m × n 的网格，每个格子中放着一个礼物，每个礼物都有一定的价值。现在从网格的左上角走到右下角，每次只能向右或向下移动一步，并且沿途经过的格子中的礼物都可以拿走。要求计算出能够拿到的礼物的最大总价值。

我们可以使用动态规划来解决这个问题。假设 dp[i][j] 表示从起点到达第 i 行、第 j 列格子时能够拿到的礼物的最大总价值。那么 dp[m-1][n-1] 就是我们要求的结果。

动态规划的递推关系如下：

 

1.对于第一行和第一列的格子，由于只能向右或向下移动，所以到达这些格子时的最大总价值等于前一个格子的最大总价值加上当前格子的价值。

 

 

2.对于第一行，dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j]，其中 grid[0][j] 表示第一行第 j 列格子的价值。

3.对于第一列，dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0]，其中 grid[i][0] 表示第 i 行第一列格子的价值。

 

 

4.对于其他格子，到达当前格子的最大总价值等于上方格子和左方格子中的最大值加上当前格子的价值。

 

 

5.dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]

 

基于以上递推关系，我们可以使用一个二维数组 dp 来保存中间结果，并填充该数组来计算最终的结果。最后返回 dp[m-1][n-1] 即可。

下面是一个使用动态规划求解礼物最大价值问题的示例代码（假设输入的礼物网格为二维列表 grid）：

#include <stdio.h>

 

// 定义一个宏，用于计算两个数的最大值

#define max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))

 

// 计算礼物最大价值的函数

int maxGiftValue(int grid[3][4], int m, int n) {

    int dp[m][n]; // 定义一个二维数组用于保存中间结果

    

    // 初始化第一行和第一列

    dp[0][0] = grid[0][0];

    for (int i = 1; i < m; i++) {

        dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0];

    }

    for (int j = 1; j < n; j++) {

        dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j];

    }

    

    // 填充dp数组

    for (int i = 1; i < m; i++) {

        for (int j = 1; j < n; j++) {

            dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j];

        }

    }

    

    // 返回右下角格子的最大总价值

    return dp[m-1][n-1];

}

 

int main() {

    int grid[3][4] = {{1, 3, 1, 2},

                      {2, 2, 4, 1},

                      {5, 0, 2, 3}};

    int m = 3; // 网格的行数

    int n = 4; // 网格的列数

    

    int result = maxGiftValue(grid, m, n);

    printf("礼物的最大总价值为：%d\n", result);

    

    return 0;

}

 

这样，max_gift_value(grid) 函数就可以返回从左上角到右下角能够拿到的礼物的最大总价值。