本文详细介绍了如何在C++中处理大数的加法、减法、乘法和除法，特别是针对整数位数超过计算机数据类型范围的情况，通过特殊算法实现高精度运算。
目录
1.大数的加法
1.概述
大数相加是指对于两个较大的整数进行相加运算。当整数的位数超过计算机数据类型的范围时，无法直接进行相加运算。在这种情况下，需要使用特殊的算法来实现大数相加。
大数相加算法的基本思想是将两个大数的每一位相加，并考虑进位。从低位开始相加，若两位之和超过了进位基数（通常为10），则将进位加到高位相加。
2.代码
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
// 运算符的重载
string operator + (const string& a, const string& b){
int la = a.size();
int lb = b.size();
int lc = max(la, lb) + 1;
vector<int> sa(lc, 0), sb(lc, 0), sc(lc, 0);
// 字符串转数字
for(int i = 0; i < la; i++)
sa[i] = a[la - 1 - i] - '0';
for(int i = 0; i < lb; i++)
sb[i] = b[lb - 1 - i] - '0';
for(int i = 0; i < lc; i++){
sc[i] += sa[i] + sb[i];
if(sc[i] >= 10){
sc[i + 1] = sc[i] / 10;
sc[i] %= 10;
}
}
// 去除前导0
int i = lc - 1;
while(sc[i] == 0 && i > 0)
i--;
string ss;
for ( ; i >= 0; i--)
ss += to_string(sc[i]);
return ss;
}
int main(){
string a, b;
cin >> a >> b;
cout << a + b << endl;
return 0;
}2.大数的减法
1.概述
大数相减是指对于两个较大的整数进行相减运算。当整数的位数超过计算机数据类型的范围时，无法直接进行相减运算。在这种情况下，需要使用特殊的算法来实现大数相减。
大数相减算法的基本思想是模拟手工计算中的减法操作。从最高位开始相减，若被减数小于减数，则向高位借位。
2.代码
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
//比较
bool compare(string a, string b) {
int la = a.length();
int lb = b.length();
if (la != lb)
return la > lb;
if (a.compare(b) >= 0)
return true;
return false;
}
// 运算符的重载
string operator - (string& a, string& b){
// 判断正负
if(!compare(a, b)) {
swap(a, b);
cout << "-";
}
int la = a.size();
int lb = b.size();
int lc = max(la, lb);
vector<int> sa(lc, 0), sb(lc, 0), sc(lc, 0);
// 字符串转数字
for(int i = 0; i < la; i++)
sa[i] = a[la - 1 - i] - '0';
for(int i = 0; i < lb; i++)
sb[i] = b[lb - 1 - i] - '0';
for(int i = 0; i < lc; i++){
if(sa[i] >= sb[i])
sc[i] = sa[i] - sb[i];
else{
sc[i] = sa[i] + 10 - sb[i];
sa[i + 1]--;
}
}
// 去除前导0
int i = lc - 1;
while(sc[i] == 0 && i > 0)
i--;
string ss;
for ( ; i >= 0; i--)
ss += to_string(sc[i]);
return ss;
}
int main(){
string a, b;
cin >> a >> b;
cout << a - b << endl;
return 0;
}3.大数的乘法
1.概述
高精度乘法是指对于两个较大的整数进行相乘运算。当整数的位数超过计算机数据类型的范围时，无法直接进行相乘运算。在这种情况下，需要使用特殊的算法来实现高精度乘法。
高精度乘法算法的基本思想是模拟手工计算中的乘法操作。对第一个整数的每一位与第二个整数的每一位进行相乘，然后按位相加得到最终结果。
2.代码
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
// 运算符的重载
string operator * (string& a, string& b){
// 判断正负
int la = a.size();
int lb = b.size();
int lc = la + lb;
vector<int> sa(lc, 0), sb(lc, 0), sc(lc, 0);
// 字符串转数字
for(int i = 0; i < la; i++)
sa[i] = a[la - 1 - i] - '0';
for(int i = 0; i < lb; i++)
sb[i] = b[lb - 1 - i] - '0';
for(int i = 0; i < la; i++){
int carry = 0; // 进位
for(int j = 0; j < lb; j++){
sc[i + j] += (sa[i] * sb[j]) + carry;
carry = sc[i + j] / 10;
sc[i + j] %= 10;
}
sc[i + lb] = carry;
}
// 去除前导0
int i = lc - 1;
while(sc[i] == 0 && i > 0)
i--;
string ss;
for ( ; i >= 0; i--)
ss += to_string(sc[i]);
return ss;
}
int main(){
// 考虑的为非负数
string a, b;
cin >> a >> b;
cout << a * b << endl;
return 0;
}4.大数的除法
1.概述
高精度乘法是指对于两个较大的整数进行相乘运算。当整数的位数超过计算机数据类型的范围时，无法直接进行相乘运算。在这种情况下，需要使用特殊的算法来实现高精度乘法。
高精度乘法算法的基本思想是模拟手工计算中的乘法操作。对第一个整数的每一位与第二个整数的每一位进行相乘，然后按位相加得到最终结果。
2.代码
1.被除数小的情况（高精度除以低精度）
// ***************方法一***************
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
// 运算符的重载
string operator / (string& a, int& b){
int la = a.size();
vector<int> sa(la, 0), sc(la + 1, 0);
// 字符串转数字
for(int i = 0; i < la; i++)
sa[i] = a[i] - '0';
int x = 0; // 存储长除法
for(int i = 0; i < la; i++){
sc[i] = (x * 10 + sa[i]) / b; // 商
x = (x * 10 + sa[i]) % b; // 取余
}
// 去除后导0
int i = 1;
while(sc[i] == 0 && i < la)
i++;
string ss;
for ( ; i < la; i++)
ss += to_string(sc[i]);
return ss;
}
// 取余
string operator % (string& a, int& b){
int la = a.size();
int s = 0;
for(int i = 0; i < la; i++){
s = s * 10 + (a[i] - '0');
s %= b;
}
return to_string(s);
}
int main(){
// 考虑的为非负数
string a;
int b;
cin >> a >> b;
cout << a / b << endl;
cout << a % b << endl;
return 0;
}//***************方法二***************
#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
using namespace std;
int main() {
string s;
int b;
cin >> s >> b;
// 除数不为0
if (b == 0) {
cout << "除数不能为0" << endl;
return 0;
}
int la = s.length();
vector<int> sa(la), sc(la);
for (int i = 0; i < la; i++)
sa[i] = s[la - 1 - i] - '0';
int reminder = 0;
for(int i = la - 1; i >= 0; i--){
reminder = reminder * 10 + sa[i];
sc[i] = reminder / b;
reminder %= b;
}
// 去除前导0
int i = la - 1;
while (sc[i] == 0 && i > 0)
i--;
for ( ; i >= 0; i--)
cout << sc[i];
if (reminder) // 余数
cout << "..." << reminder << endl;
return 0;
}2.被除数大的情况（高精度除以高精度）
//***************方法一***************
// 1 2 3 4 5 6
// 1 2 3 sc[3] = 1
// --------------
// 0 0 0
// 4 sc[2] = 0
// 4 5 sc[1] = 0
// 4 5 6
// 1 2 3 sc[0] = 1
// --------------
// 3 3 3
// 1 2 3 sc[0] = 3
// --------------
// 2 1 0
// 1 2 3 sc[0] = 3
// --------------
// 8 7 余数
#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;
// 判断len长度的 b 是否可以被 a 除
bool judge(int *a, int *b, int len) {
if (a[len] > 0)
return true;
for (int i = len - 1; i >= 0; i--) {
if (a[i] > b[i])
return true;
else if (a[i] < b[i])
return false;
}
return true; // a 和 b 相等
}
int main() {
string a, b;
cin >> a >> b;
if (b == "0") {
cout << "除数不能为0" << endl;
return 0;
}
int la = a.length();
int lb = b.length();
int lc = la - lb;
int sa[1000] = {0}, sb[1000] = {0}, sc[1000] = {0};
// 字符型转换为整型数组
for (int i = 0; i < la; i++)
sa[i] = a[la - 1 - i] - '0';
for (int i = 0; i < lb; i++)
sb[i] = b[lb - 1 - i] - '0';
for (int i = lc; i >= 0; i--) {
while (judge(sa + i, sb, lb)) {
sc[i]++;
for (int j = 0; j <= lb - 1; j++) {
if (sa[i + j] < sb[j]) {
sa[i + j + 1]--;
sa[i + j] += 10;
}
sa[i + j] -= sb[j];
}
}
}
// 去除前导0
int i = la - 1;
while (sa[i] == 0 && i > 0)
i--;
int j = lc;
while (sc[j] == 0 && j > 0)
j--;
// 打印商
if(j < 0) cout << "0";// 当商的首位下标小于0时，代表商是0
for (; j >= 0; j--)
cout << sc[j];
// 打印余数
if (i > 0 || sa[0] > 0) {
cout << "...";
for (; i >= 0; i--)
cout << sa[i];
}
return 0;
}
大数相除参考了此博主：高精度除法 【c++实现】包括高精除低精与高精除高精-优快云博客
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