26考研 | 王道 | 数据结构 | 第三章 栈和队列

原创 于 2025-03-31 21:19:04 发布
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#考研 #数据结构

第三章 栈和队列

栈和队列有相同的逻辑结构，即都是线性结构

文章目录

3.1. 栈

注：卡特兰数要记住

image-20250328151512344

本小节完整代码
栈的顺序存储
#include<iostream>

using namespace std;

const int MAXSIZE = 10;

/*
1. * *InitStack(&S)：初始化栈。构造一个空栈 S，分配内存空间。 * *
2. * *DestroyStack(&S)：销毁栈。销毁并释放栈 S 所占用的内存空间。 * *
3. * *Push(&S, x)：进栈。若栈 S 未满，则将 x 加入使其成为新的栈顶元素。 * *
4. * *Pop(&S, &x)：出栈。若栈 S 非空，则弹出（删除）栈顶元素，并用 x 返回。 * *
5. * *GetTop(S, &x)：读取栈顶元素。若栈 S 非空，则用 x 返回栈顶元素。 * *
6. * *StackEmpty(S)：判空。断一个栈 S 是否为空，若 S 为空，则返回 true，否则返回 false。 * *
*/

//结构体定义
struct Stack
{
	int data[MAXSIZE];
	int top;
};

//初始化栈。构造一个空栈 S，分配内存空间。
void InitStack(Stack &s)
{
	s.top = -1;
}

//判断一个栈 S 是否为空，若 S 为空，则返回 true，否则返回 false
bool Empty(Stack& s)
{
	return s.top == -1;
}

//进栈。若栈 S 未满，则将 x 加入使其成为新的栈顶元素。 
bool Push(Stack& s, int x)
{
	if (s.top == MAXSIZE - 1)
		return false;
	s.top++;
	s.data[s.top] = x;
	return true;
}

//出栈。若栈 S 非空，则弹出（删除）栈顶元素，并用 x 返回
bool Pop(Stack& s, int& x)
{
	if (s.top == -1)
		return false;
	x = s.data[s.top];
	s.top--;
	return true;
}

//读取栈顶元素。若栈 S 非空，则用 x 返回栈顶元素。
bool GetTop(Stack &s,int& x)
{
	if (s.top == -1)
		return false;
	x = s.data[s.top];
	return true;
}

//销毁栈。销毁并释放栈 S 所占用的内存空间。
void DestroyStack(Stack &s)
{
	s.top = -1;
}

int main()
{
	Stack s;
	InitStack(s);
	cout << Empty(s) << endl;
	int y = 0;
	for (int i = 1; i < 6; i++)
	{
		Push(s,i);
		GetTop(s, y);
		cout<<y<<" ";
	}
	cout << endl;
	cout << Empty(s) << endl;
	int x = 0;
	for (int i = 1; i < 6; i++)
	{
		Pop(s, x);
		cout << x << " ";
	}
	cout << endl;
	cout << Empty(s) << endl;
	return 0;
}
栈的链式存储
#include<iostream>

using namespace std;

const int MAXSIZE = 10;

/*
1. * *InitStack(&S)：初始化栈。构造一个空栈 S，分配内存空间。 * *
2. * *DestroyStack(&S)：销毁栈。销毁并释放栈 S 所占用的内存空间。 * *
3. * *Push(&S, x)：进栈。若栈 S 未满，则将 x 加入使其成为新的栈顶元素。 * *
4. * *Pop(&S, &x)：出栈。若栈 S 非空，则弹出（删除）栈顶元素，并用 x 返回。 * *
5. * *GetTop(S, &x)：读取栈顶元素。若栈 S 非空，则用 x 返回栈顶元素。 * *
6. * *StackEmpty(S)：判空。断一个栈 S 是否为空，若 S 为空，则返回 true，否则返回 false。 * *
*/

//结构体定义
typedef struct Linknode {
	int data;        //数据域    
	Linknode* next;       //指针域
}LNode, *Stack;

//初始化栈。构造一个空栈 S，分配内存空间。
bool InitStack(Stack& s)
{
	s = (Stack)malloc(sizeof(Stack));
	if (s == NULL)
		return false;
	s->next = NULL;
	return true;
}

//判断一个栈 S 是否为空，若 S 为空，则返回 true，否则返回 false
bool Empty(Stack& s)
{
	return s->next==NULL;
}

//进栈。若栈 S 未满，则将 x 加入使其成为新的栈顶元素。 
bool Push(Stack& s, int x)
{
	LNode* p = (LNode*)malloc(sizeof(LNode));
	if (p == NULL)
		return false;
	p->next = s->next;
	p->data = x;
	s->next = p;
	return true;
}

//出栈。若栈 S 非空，则弹出（删除）栈顶元素，并用 x 返回
bool Pop(Stack& s, int& x)
{
	if (s->next == NULL)
		return false;
	LNode* p = s->next;
	s->next = p->next;
	x = p->data;
	free(p);
	return true;
}

//读取栈顶元素。若栈 S 非空，则用 x 返回栈顶元素。
bool GetTop(Stack& s, int& x)
{
	if (s->next == NULL)
		return false;
	x = s->next->data;
	return true;
}

//销毁栈。销毁并释放栈 S 所占用的内存空间。
void DestroyStack(Stack& s)
{
	while (s != NULL)
	{
		LNode* p = s;
		s = s->next;
		free(p);
	}
}

int main()
{
	Stack s;
	InitStack(s);
	cout << Empty(s) << endl;
	int y = 0;
	for (int i = 1; i < 6; i++)
	{
		Push(s, i);
		GetTop(s, y);
		cout << y << " ";
	}
	cout << endl;
	cout << Empty(s) << endl;
	int x = 0;
	for (int i = 1; i < 6; i++)
	{
		Pop(s, x);
		cout << x << " ";
	}
	cout << endl;
	cout << Empty(s) << endl;
	return 0;
}
3.1.1. 栈的基本概念
  • 只允许在一端(栈顶top)进行插入或删除操作的受限的线性表。
  • 后进先出（Last In First Out）LIFO。

img

  • 进栈顺序：a1 > a2 > a3 > a4 > a5
  • 出栈顺序：a5 > a4 > a3 > a2 > a1
3.1.2. 栈的基本操作
  1. InitStack(&S)：初始化栈。构造一个空栈 S，分配内存空间。
  2. DestroyStack(&S)：销毁栈。销毁并释放栈 S 所占用的内存空间。
  3. Push(&S, x)：进栈。若栈 S 未满，则将 x 加入使其成为新的栈顶元素。
  4. Pop(&S, &x)：出栈。若栈 S 非空，则弹出（删除）栈顶元素，并用 x 返回。
  5. GetTop(S, &x)：读取栈顶元素。若栈 S 非空，则用 x 返回栈顶元素。
  6. StackEmpty(S)：判空。断一个栈 S 是否为空，若 S 为空，则返回 true，否则返回 false。
3.1.3. 栈的顺序存储实现

img

【顺序栈的定义】

#define MaxSize 10              //定义栈中元素的最大个数
 
typedef struct{
    ElemType data[MaxSize];     //静态数组存放栈中元素
    int top;                    //栈顶元素
}SqStack;
 
void testStack(){
    SqStack S;                 //声明一个顺序栈(分配空间)
                               //连续的存储空间大小为 MaxSize*sizeof(ElemType)
}

【顺序栈的初始化】

#define MaxSize 10
typedef struct{   
	ElemType data[MaxSize];    
    int top;
}SqStack;
 
// 初始化栈
void InitStack(SqStack &S){ 
    S.top = -1;                   //初始化栈顶指针
}
 
// 判断栈是否为空
bool StackEmpty(SqStack S){    
    if(S.top == -1)        
        return true;    
    else        
        return false;
}

【顺序栈的入栈出栈】

// 新元素进栈
bool Push(SqStack &S, ElemType x){    // 判断栈是否已满    
    if(S.top == MaxSize - 1)        
        return false;    
    S.data[++S.top] = x;    
    return true;
}
 
// 出栈
bool Pop(SqStack &x, ElemType &x){    // 判断栈是否为空    
    if(S.top == -1)        
        return false;    
    x = S.data[S.top--];    
    return true;
}

【读取栈顶元素】

// 读栈顶元素
bool GetTop(SqStack S, ElemType &x){        
    if(S.top == -1)                
        return false;        
    x = S.data[S.top];        
    return true; 
}
  • 进栈操作：栈不满时，栈顶指针先加1，再送值到栈顶元素。S.data[++S.top] = x
  • 出栈操作：栈非空时，先取栈顶元素值，再将栈顶指针减1。x = S.data[S.top–]
  • 栈空条件：S.top==-
  • 栈满条件：S.top==MaxSize-1
  • 栈长：S.top+1

【共享栈(两个栈共享同一片空间)】

  • 共享栈–特殊的顺序栈
  • 将栈底设计在共享空间的两端，栈顶向中间靠拢

当top0=-1时0号栈为空

当top1=maxsize时1号栈为空

当top1-top0=1时，两个指针相遇栈满

好处：节省存储空间，防止发生上溢的可能

上溢是指存储器满了还让里面写，下溢是指存储器空还往外读

#define MaxSize 10         //定义栈中元素的最大个数
 
typedef struct{
    ElemType data[MaxSize];       //静态数组存放栈中元素
    int top0;                     //0号栈栈顶指针
    int top1;                     //1号栈栈顶指针
}ShStack;
 
//初始化栈
void InitSqStack(ShStack &S){
    S.top0 = -1;        //初始化栈顶指针
    S.top1 = MaxSize;   
}
3.1.4. 栈的链式存储

【链栈的定义】

  • 定义：采用链式存储的栈称为链栈。
  • 优点：链栈的优点是便于多个栈共享存储空间和提高其效率，且不存在栈满上溢的情况。
  • 特点：进栈和出栈都只能在栈顶一端进行(链头作为栈顶)

链表的头部作为栈顶，意味着：

    1. 在实现数据"入栈"操作时，需要将数据从链表的头部插入；
    1. 在实现数据"出栈"操作时，需要删除链表头部的首元节点；

因此，链栈实际上就是一个只能采用头插法插入或删除数据的链表;
栈的链式存储结构可描述为：

【链栈的定义】

typedef struct Linknode{        
    ElemType data;        //数据域    
    Linknode *next;       //指针域
}Linknode,*LiStack;
 
void testStack(){   
    LiStack L;            //声明一个链栈
}

【链栈的初始化】

typedef struct Linknode{       
    ElemType data;      
    Linknode *next;
}Linknode,*LiStack;
 
// 初始化栈
bool InitStack(LiStack &L){    
    L = (Linknode *)malloc(sizeof(Linknode));   
    if(L == NULL)             
        return false;   
    L->next = NULL;    
    return true;
}
 
// 判断栈是否为空
bool isEmpty(LiStack &L){    
    if(L->next == NULL)      
        return true;   
    else           
        return false;
}

【入栈出栈】

// 新元素入栈
bool pushStack(LiStack &L,ElemType x){  
    Linknode *s = (Linknode *)malloc(sizeof(Linknode));  
    if(s == NULL)         
        return false;   
    s->data = x;     
    // 头插法      
    s->next = L->next;  
    L->next = s;     
    return true;
}
 
// 出栈
bool popStack(LiStack &L, int &x){     
    // 栈空不能出栈  
    if(L->next == NULL)     
        return false;    
    Linknode *s = L->next;  
    x = s->data;       
    L->next = s->next;
    free(s);       
    return true;
}

3.2. 队列

本小节完整代码
顺序存储队列–牺牲一个存储空间

rear指向要填入元素的位置，而不是最后一个元素

#include<iostream>

using namespace std;

const int MAXSIZE = 10;

/*
1. InitQueue(&Q)：初始化队列，构造一个空队列Q。
2. QueueEmpty(Q)：判队列空，若队列Q为空返回true，否则返回false。
3. EnQueue(&Qx)：入队，若队列Q未满，则将x加入使之成为新的队尾。
4. DeQueue(&Q & x)：出队，若队列Q非空，则删除队头元素，并用x返回。
5. GetHead(Q & x)：读队头元素，若队列Q非空则用x返回队头元素。
6. ClearQueue(&Q)：销毁队列，并释放队列Q占用的内存空间。
*/

struct queue
{
	int data[MAXSIZE];
	int front, rear;//头指针和尾指针
};

//初始化队列，构造一个空队列Q。
void InitQueue(queue& q)
{
	q.front = 0;
	q.rear = 0;
}

//判队列空，若队列Q为空返回true，否则返回false。
bool QueueEmpty(queue& q)
{
	return q.front == q.rear;
}

//入队，若队列Q未满，则将x加入使之成为新的队尾。
//最多只可以存储MAXSIZE-1个元素
bool EnQueue(queue& q,int x)
{
	if ((q.rear + 1) % MAXSIZE == q.front)
		return false;
	q.data[q.rear] = x;
	q.rear=(q.rear+1)%MAXSIZE;
	return true;
}

//出队，若队列Q非空，则删除队头元素，并用x返回。
bool DeQueue(queue& q, int &x)
{
	//判断是否非空
	if (q.rear == q.front)
		return false;
	x = q.data[q.front];
	q.front = ( q.front + 1) % MAXSIZE;
	return true;
}

//读队头元素，若队列Q非空则用x返回队头元素。
bool GetHead(queue& q, int& x)
{
	//判断是否非空
	if (q.rear == q.front)
		return false;
	x = q.data[q.front];
	return true;
}

//销毁队列，并释放队列Q占用的内存空间。
void ClearQueue(queue& q)
{
	q.front = 0;
	q.rear = 0;
}

int main()
{
	queue q;
	InitQueue(q);
	cout << QueueEmpty(q) << endl;
	for (int i = 1; i < 6; i++)
		EnQueue(q, i);
	cout << QueueEmpty(q) << endl;
	int x = 0;
	for (int i = 1; i < 6; i++)
	{
		GetHead(q, x);
		cout << x << " ";
		DeQueue(q, x);
	}
	cout << endl;
	cout << QueueEmpty(q) << endl;
	ClearQueue(q);
	return 0;
}
顺序存储队列–加入size变量

rear指向要填入元素的位置，而不是最后一个元素

#include<iostream>

using namespace std;

const int MAXSIZE = 10;

/*
1. InitQueue(&Q)：初始化队列，构造一个空队列Q。
2. QueueEmpty(Q)：判队列空，若队列Q为空返回true，否则返回false。
3. EnQueue(&Qx)：入队，若队列Q未满，则将x加入使之成为新的队尾。
4. DeQueue(&Q & x)：出队，若队列Q非空，则删除队头元素，并用x返回。
5. GetHead(Q & x)：读队头元素，若队列Q非空则用x返回队头元素。
6. ClearQueue(&Q)：销毁队列，并释放队列Q占用的内存空间。
*/

struct queue
{
	int data[MAXSIZE];
	int front, rear;//头指针和尾指针
	int size;
};

//初始化队列，构造一个空队列Q。
void InitQueue(queue& q)
{
	q.front = 0;
	q.rear = 0;
	q.size = 0;
}

//判队列空，若队列Q为空返回true，否则返回false。
bool QueueEmpty(queue& q)
{
	return q.size == 0;
}

//入队，若队列Q未满，则将x加入使之成为新的队尾。
//最多只可以存储MAXSIZE-1个元素
bool EnQueue(queue& q,int x)
{
	//队列已经满了
	if (q.size==MAXSIZE)
		return false;
	q.data[q.rear] = x;
	q.rear=(q.rear+1)%MAXSIZE;
	q.size++;
	return true;
}

//出队，若队列Q非空，则删除队头元素，并用x返回。
bool DeQueue(queue& q, int &x)
{
	//判断是否非空
	if (q.size == 0)
		return false;
	x = q.data[q.front];
	q.front = ( q.front + 1) % MAXSIZE;
	q.size--;
	return true;
}

//读队头元素，若队列Q非空则用x返回队头元素。
bool GetHead(queue& q, int& x)
{
	//判断是否非空
	if (q.size == 0)
		return false;
	x = q.data[q.front];
	return true;
}

//销毁队列，并释放队列Q占用的内存空间。
void ClearQueue(queue& q)
{
	q.front = 0;
	q.rear = 0;
	q.size = 0;
}

int main()
{
	queue q;
	InitQueue(q);
	cout << QueueEmpty(q) << endl;
	for (int i = 1; i < 11; i++)
		EnQueue(q, i);
	cout << QueueEmpty(q) << endl;
	int x = 0;
	for (int i = 1; i < 11; i++)
	{
		GetHead(q, x);
		cout << x << " ";
		DeQueue(q, x);
	}
	cout << endl;
	cout << QueueEmpty(q) << endl;
	ClearQueue(q);
	return 0;
}
顺序存储队列–加入tag变量
#include<iostream>

using namespace std;

const int MAXSIZE = 10;

/*
1. InitQueue(&Q)：初始化队列，构造一个空队列Q。
2. QueueEmpty(Q)：判队列空，若队列Q为空返回true，否则返回false。
3. EnQueue(&Qx)：入队，若队列Q未满，则将x加入使之成为新的队尾。
4. DeQueue(&Q & x)：出队，若队列Q非空，则删除队头元素，并用x返回。
5. GetHead(Q & x)：读队头元素，若队列Q非空则用x返回队头元素。
6. ClearQueue(&Q)：销毁队列，并释放队列Q占用的内存空间。
*/

struct queue
{
	int data[MAXSIZE];
	int front, rear;//头指针和尾指针
	int tag;
};

//初始化队列，构造一个空队列Q。
void InitQueue(queue& q)
{
	q.front = 0;
	q.rear = 0;
	q.tag = 0;
}

//判队列空，若队列Q为空返回true，否则返回false。
bool QueueEmpty(queue& q)
{
	return q.front == q.rear && q.tag == 0;
}

//入队，若队列Q未满，则将x加入使之成为新的队尾。
//最多只可以存储MAXSIZE-1个元素
bool EnQueue(queue& q, int x)
{
	if (q.rear == q.front && q.tag == 1)
		return false;
	q.data[q.rear] = x;
	q.rear = (q.rear + 1) % MAXSIZE;
	q.tag = 1;
	return true;
}

//出队，若队列Q非空，则删除队头元素，并用x返回。
bool DeQueue(queue& q, int& x)
{
	//判断是否非空
	if (q.rear == q.front && q.tag == 0)
		return false;
	x = q.data[q.front];
	q.front = (q.front + 1) % MAXSIZE;
	q.tag = 0;
	return true;
}

//读队头元素，若队列Q非空则用x返回队头元素。
bool GetHead(queue& q, int& x)
{
	//判断是否非空
	if (q.rear == q.front)
		return false;
	x = q.data[q.front];
	return true;
}

//销毁队列，并释放队列Q占用的内存空间。
void ClearQueue(queue& q)
{
	q.front = 0;
	q.rear = 0;
	q.tag = 0;
}

int main()
{
	queue q;
	InitQueue(q);
	cout << QueueEmpty(q) << endl;
	for (int i = 1; i < 6; i++)
		EnQueue(q, i);
	cout << QueueEmpty(q) << endl;
	int x = 0;
	for (int i = 1; i < 6; i++)
	{
		GetHead(q, x);
		cout << x << " ";
		DeQueue(q, x);
	}
	cout << endl;
	cout << QueueEmpty(q) << endl;
	ClearQueue(q);
	return 0;
}
链式存储队列
#include<iostream>

using namespace std;

const int MAXSIZE = 10;

/*
1. InitQueue(&Q)：初始化队列，构造一个空队列Q。
2. QueueEmpty(Q)：判队列空，若队列Q为空返回true，否则返回false。
3. EnQueue(&Qx)：入队，若队列Q未满，则将x加入使之成为新的队尾。
4. DeQueue(&Q & x)：出队，若队列Q非空，则删除队头元素，并用x返回。
5. GetHead(Q & x)：读队头元素，若队列Q非空则用x返回队头元素。
6. ClearQueue(&Q)：销毁队列，并释放队列Q占用的内存空间。
*/

struct LNode
{
	int data;
	LNode* next;
};

struct queue
{
	LNode* front, * rear;//头指针和尾指针
};


//初始化队列，构造一个空队列Q。
void InitQueue(queue& q)
{
	q.front = NULL;
	q.rear = NULL;
}

//判队列空，若队列Q为空返回true，否则返回false。
bool QueueEmpty(queue& q)
{
	return q.front == NULL;
}

//入队，若队列Q未满，则将x加入使之成为新的队尾。
//最多只可以存储MAXSIZE-1个元素
bool EnQueue(queue& q, int x)
{
	LNode* p = (LNode*)malloc(sizeof(LNode));
	p->data = x;
	p->next = NULL;
	if (q.front == NULL)
	{
		q.front = p;
		q.rear = p;
	}
	else
	{
		q.rear->next = p;
		q.rear = p;
	}
	return true;
}

//出队，若队列Q非空，则删除队头元素，并用x返回。
bool DeQueue(queue& q, int& x)
{
	//空队列
	if (q.front == NULL)
		return false;
	LNode* p = q.front;
	x = p->data;
	q.front = q.front->next;
	if (p == q.rear)
	{
		q.front = NULL;
		q.rear = NULL;
	}
	free(p);
	return true;
}

//读队头元素，若队列Q非空则用x返回队头元素。
bool GetHead(queue& q, int& x)
{
	//判断是否非空
	if (NULL == q.front)
		return false;
	x = q.front->data;
	return true;
}

//销毁队列，并释放队列Q占用的内存空间。
void ClearQueue(queue& q)
{
	while (q.front != NULL)
	{
		LNode* p = q.front;
		q.front = q.front->next;
		free(p);
	}
}

int main()
{
	queue q;
	InitQueue(q);
	cout << QueueEmpty(q) << endl;
	for (int i = 1; i < 6; i++)
		EnQueue(q, i);
	cout << QueueEmpty(q) << endl;
	int x = 0;
	for (int i = 1; i < 6; i++)
	{
		GetHead(q, x);
		cout << x << " ";
		DeQueue(q, x);
	}
	cout << endl;
	cout << QueueEmpty(q) << endl;
	ClearQueue(q);
	return 0;
}
双端队列
3.2.1. 队列的基本概念

image-20250328135341766

  • 只允许在表的一端(队尾)插入，表的另一端(队头)进行删除操作的受限的线性表。
  • 特点：先进先出（先入队的元素先出队）、FIFO（First In First Out）。

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3.2.2. 队列的基本操作
  1. InitQueue(&Q)：初始化队列，构造一个空队列Q。
  2. QueueEmpty(Q)：判队列空，若队列Q为空返回true，否则返回false。
  3. EnQueue(&Qx)：入队，若队列Q未满，则将x加入使之成为新的队尾。
  4. DeQueue(&Q&x)：出队，若队列Q非空，则删除队头元素，并用x返回。
  5. GetHead(Q&x)：读队头元素，若队列Q非空则用x返回队头元素。
  6. ClearQueue(&Q)：销毁队列，并释放队列Q占用的内存空间。
3.2.3. 队列的顺序存储实现

img

  • 队头指针：指向队头元素
  • 队尾指针：指向队尾元素的下一个位置

【顺序队列的定义】

#define MaxSize 10;     //定义队列中元素的最大个数
 
typedef struct{     
    ElemType data[MaxSize];   //用静态数组存放队列元素     
    int front, rear;          //队头指针和队尾指针
}SqQueue;
 
void test{     
    SqQueue Q;                //声明一个队列
}

【顺序队列的初始化】

#define MaxSize 10;
 
typedef struct{   
    ElemType data[MaxSize];  
    int front, rear;
}SqQueue;
 
// 初始化队列
void InitQueue(SqQueue &Q){    
    // 初始化时，队头、队尾指针指向0   
    // 队尾指针指向的是即将插入数据的数组下标  
    // 队头指针指向的是队头元素的数组下标
    Q.rear = Q.front = 0;
}
 
// 判断队列是否为空
bool QueueEmpty(SqQueue Q){     
    if(Q.rear == Q.front)            
        return true;   
    else          
        return false;
}

【入队出队（循环队列）】

// 新元素入队
bool EnQueue(SqQueue &Q, ElemType x){       
    // 如果队列已满直接返回
    if((Q.rear+1)%MaxSize == Q.front) 	//牺牲一个单元区分队空和队满   
        return false;    
    Q.data[Q.rear] = x;   
    Q.rear = (Q.rear+1)%MaxSize; 
    return true;
}
 
// 出队
bool DeQueue(SqQueue &Q, ElemType &x){    
    // 如果队列为空直接返回    
    if(Q.rear == Q.front)  
        return false;     
    x = Q.data[Q.front];  
    Q.front = (Q.front+1)%MaxSize;
    return true;
}

【获得队头元素】

// 获取队头元素并存入x
bool GetHead(SqQueue &Q, ElemType &x){
    if(Q.rear == Q.front)      
        return false;
    x = Q.data[Q.front];  
    return true;
}
  • 循环队列不能使用Q.rear == Q.front作为判空的条件，因为当队列已满时也符合该条件，会与判空发生冲突！

**解决方法一：**牺牲一个单元来区分队空和队满，即将(Q.rear+1)%MaxSize == Q.front作为判断队列是否已满的条件。（主流方法）
**解决方法二：**设置 size 变量记录队列长度。

#define MaxSize 10; 
 
typedef struct{   
    ElemType data[MaxSize]; 
    int front, rear;    
    int size;
}SqQueue;
 
// 初始化队列
void InitQueue(SqQueue &Q){ 
    Q.rear = Q.front = 0;   
    Q.size = 0;
}
 
// 判断队列是否为空
bool QueueEmpty(SqQueue 0){     
    if(Q.size == 0)      
        return true;   
    else       
        return false;
}
 
// 新元素入队
bool EnQueue(SqQueue &Q, ElemType x){ 
    if(Q.size == MaxSize)    
        return false;
    Q.size++; 
    Q.data[Q.rear] = x; 
    Q.rear = (Q.rear+1)%MaxSize;  
    return true;
}
 
// 出队
bool DeQueue(SqQueue &Q, ElemType &x){   
    if(Q.size == 0)        
        return false;
    Q.size--;
    x = Q.data[Q.front]; 
    Q.front = (Q.front+1)%MaxSize; 
    return true;
}

解决方法三：设置 tag 变量记录队列最近的操作。（tag=0：最近进行的是删除操作；tag=1 ：最近进行的是插入操作）

#define MaxSize 10;   
 
typedef struct{    
    ElemType data[MaxSize]; 
    int front, rear;        
    int tag;
}SqQueue;
 
// 初始化队列
void InitQueue(SqQueue &Q){    
    Q.rear = Q.front = 0;   
    Q.tag = 0;
}
 
// 判断队列是否为空，只有tag==0即出队的时候才可能为空
bool QueueEmpty(SqQueue 0){  
    if(Q.front == Q.rear && Q.tag == 0)    
        return true;   
    else       
        return false;
}
 
// 新元素入队
bool EnQueue(SqQueue &Q, ElemType x){
    if(Q.rear == Q.front && tag == 1)     
        return false;     
    Q.data[Q.rear] = x; 
    Q.rear = (Q.rear+1)%MaxSize;  
    Q.tag = 1;  
    return true;
}
 
// 出队
bool DeQueue(SqQueue &Q, ElemType &x){
    if(Q.rear == Q.front && tag == 0)  
        return false;   
    x = Q.data[Q.front];
    Q.front = (Q.front+1)%MaxSize; 
    Q.tag = 0;     
    return true;
}
3.2.4. 队列的链式存储实现

image-20250328150704010

【链队列的定义】

// 链式队列结点
typedef struct LinkNode{  
    ElemType data;    
    struct LinkNode *next;
}
 
// 链式队列
typedef struct{       
    // 头指针和尾指针  
    LinkNode *front, *rear;
}LinkQueue;

【 链队列的初始化（带头结点）】

typedef struct LinkNode{    
    ElemType data;     
    struct LinkNode *next;
}LinkNode;
 
typedef struct{    
    LinkNode *front, *rear;
}LinkQueue;
 
// 初始化队列
void InitQueue(LinkQueue &Q){   
    // 初始化时，front、rear都指向头结点 
    Q.front = Q.rear = (LinkNode *)malloc(sizeof(LinkNode));  
    Q.front -> next = NULL;
}
 
// 判断队列是否为空
bool IsEmpty(LinkQueue Q){ 
    if(Q.front == Q.rear)     
        return true;      
    else         
        return false;
}

【入队出队（带头结点）】

// 新元素入队
void EnQueue(LinkQueue &Q, ElemType x){ 
    LinkNode *s = (LinkNode *)malloc(sizeof(LinkNode)); 
    s->data = x;  
    s->next = NULL; 
    Q.rear->next = s;  
    Q.rear = s;
}
 
// 队头元素出队
bool DeQueue(LinkQueue &Q, ElemType &x){   
    if(Q.front == Q.rear)         
        return false;    
    LinkNode *p = Q.front->next; 
    x = p->data;   
    Q.front->next = p->next; 
    // 如果p是最后一个结点，则将队头指针也指向NULL  
    if(Q.rear == p)          
        Q.rear = Q.front;   
    free(p);     
    return true;
}

【不带头结点的链队列操作】

typedef struct LinkNode{   
    ElemType data;  
    struct LinkNode *next;
}LinkNode;
 
typedef struct{   
    LinkNode *front, *rear;
}LinkQueue;
 
// 初始化队列
void InitQueue(LinkQueue &Q){ 
    // 不带头结点的链队列初始化，头指针和尾指针都指向NULL
    Q.front = NULL;   
    Q.rear = NULL;
}
 
// 判断队列是否为空
bool IsEmpty(LinkQueue Q){ 
    if(Q.front == NULL)   
        return true;      
    else             
        return false;
}
 
// 新元素入队
void EnQueue(LinkQueue &Q, ElemType x){ 
    LinkNode *s = (LinkNode *)malloc(sizeof(LinkNode));  
    s->data = x;   
    s->next = NULL; 
    // 第一个元素入队时需要特别处理   
    if(Q.front == NULL){
        Q.front = s;    
        Q.rear = s; 
    }else{
        Q.rear->next = s;
        Q.rear = s;
    }
}
 
//队头元素出队
bool DeQueue(LinkQueue &Q, ElemType &x){
    if(Q.front == NULL)
        return false;
    LinkNode *s = Q.front;
    x = s->data;
    if(Q.front == Q.rear){
        Q.front = Q.rear = NULL;
    }else{
        Q.front = Q.front->next;
    }
    free(s);
    return true;
}
3.2.5. 双端队列

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双端队列定义

  • 双端队列是允许从两端插入、两端删除的线性表。
  • 如果只使用其中一端的插入、删除操作，则等同于栈。
  • 输入受限的双端队列：允许一端插入，两端删除的线性表。
  • 输出受限的双端队列：允许两端插入，一端删除的线性表。

img

**双端队列考点：**判断输出序列的合法化

  • 例：数据元素输入序列为 1，2，3，4，判断 4! = 24 个输出序列的合法性
    输入受限的双端队列：只有 4213 和 4231 不合法
    输出受限的双端队列：只有 4132 和 4231 不合法

在把双端队列当做栈的情况

image-20250328150441627

3.3. 栈与队列的应用

3.3.1 栈在括号匹配中的应用
  • 用栈实现括号匹配：
    1. 最后出现的左括号最先被匹配 （栈的特性——LIFO）。
    2. 遇到左括号就入栈。
    3. 遇到右括号，就“消耗”一个左括号（出栈）。
  • 匹配失败情况：
    1. 扫描到右括号且栈空，则该右括号单身。
    2. 扫描完所有括号后，栈非空，则该左括号单身。
    3. 左右括号不匹配。
#define MaxSize 10 
typedef struct{    
    char data[MaxSize];   
    int top;
}SqStack;
 
void InitStack(SqStack &S);
bool StackEmpty(SqStack &S);
bool Push(SqStack &S, char x);
bool Pop(SqStack &S, char &x);
 
// 判断长度为length的字符串str中的括号是否匹配
bool bracketCheck(char str[], int length){ 
    SqStack S;      
    InitStack(S); 
    // 遍历str    
    for(int i=0; i<length; i++){   
        // 扫描到左括号，入栈     
        if(str[i] == '(' || str[i] == '[' || str[i] == '{'){    
            Push(S, str[i]);        
        }else{              
            // 扫描到右括号且栈空直接返回   
            if(StackEmpty(S))      
                return false;       
            char topElem;          
            // 用topElem接收栈顶元素   
            Pop(S, topElem);          
            // 括号不匹配           
            if(str[i] == ')' && topElem != '(' ) 
                return false;           
            if(str[i] == ']' && topElem != '[' )  
                return false;   
            if(str[i] == '}' && topElem != '{' )   
                return false;              }   
    }  
    // 扫描完毕若栈空则说明字符串str中括号匹配    
    return StackEmpty(S);
}
leetcode练习题目

20. 有效的括号 - 力扣（LeetCode）

class Solution {
public:
    bool isValid(string s) {
        stack<char> st;
        for(auto c:s)
        {
            if(c=='('||c=='{'||c=='[')
                st.push(c);
            else
            {
                if(st.empty())
                    return false;
                char temp=st.top();
                st.pop();
                if(c=='}'&&temp!='{')
                    return false;
                else if(c==')'&&temp!='(')
                    return false;
                else if(c==']'&&temp!='[')
                    return false;
            }
            
        }
        return st.empty();
    }
};
//下面的做法也可以，基本思想是遇到左括号输入右括号，然后如果相等就弹出，不相等就是false

/*
class Solution {
public:
    bool isValid(string s) {
        stack<char> st;
        for(auto c:s)
        {
            if(c=='(')
                st.push(')');
            else if(c=='[')
                st.push(']');
            else if(c=='{')
                st.push('}');
            else if(!st.empty()&&c==st.top())
                st.pop();
            else
                return false;
        }
        return st.empty();
    }
};*/
3.3.2. 栈在表达式求值中的应用

image-20250331185326655

  • 中缀表达式：中缀表达式是一种通用的算术或逻辑公式表示方法，运算符以中缀形式处于操作数的中间。对于计算机来说中缀表达式是很复杂的，因此计算表达式的值时，通常需要先将中缀表达式转换为前缀或后缀表达式，然后再进行求值。
  • 前缀表达式（波兰表达式）：前缀表达式的运算符位于两个操作数之前。
  • 后缀表达式（逆波兰表达式）：后缀表达式的运算符位于两个操作数之后。

中缀表达式转后缀表达式-手算
步骤1： 确定中缀表达式中各个运算符的运算顺序
步骤2： 选择下一个运算符，按照[左操作数 右操作数 运算符]的方式组合成一个新的操作数
步骤3： 如果还有运算符没被处理，继续步骤2

“左优先”原则: 只要左边的运算符能先计算，就优先算左边的 (保证运算顺序唯一)；

中缀：A + B - C * D / E + F
       ①   ④   ②   ③   ⑤     
后缀：A B + C D * E / - F +

后缀表达式的计算—手算:
从左往右扫描，每遇到一个运算符，就让运算符前面最近的两个操作数执行对应的运算，合体为一个操作数

后缀表达式的计算—机算
用栈实现后缀表达式的计算（栈用来存放当前暂时不能确定运算次序的操作数）
步骤1: 从左往后扫描下一个元素，直到处理完所有元素;
步骤2: 若扫描到操作数，则压入栈，并回到步骤1;否则执行步骤3;
步骤3: 若扫描到运算符，则弹出两个栈顶元素，执行相应的运算，运算结果压回栈顶，回到步骤1;

中缀表达式转后缀表达式(机算)
初始化一个栈，用于保存暂时还不能确定运算顺序的运算符从左到右处理各个元素，直到末尾。可能遇到三种情况:
1.遇到操作数：直接加入后缀表达式。
2.遇到界限符：遇到“(”直接入栈；遇到“)”则依次弹出栈内运算符并加入后缀表达式，直到 弹出“(”为止。注意：“(”不加入后缀表达式。
3.遇到运算符：依次弹出栈中优先级高于或等于当前运算符的所有运算符，并加入后缀表达式， 若碰到“(” 或栈空则停止。之后再把当前运算符入栈。

#define MaxSize 40 
typedef struct{     
    char data[MaxSize];   
    int top;
}SqStack;
 
typedef struct{  
    char data[MaxSize];  
    int front,rear;
}SqQueue;
 
void InitStack(SqStack &S);
bool StackEmpty(SqStack S);
bool Push(SqStack &S, char x);
bool Pop(SqStack &S, char &x);
void InitQueue(SqQueue &Q);
bool EnQueue(LQueue &Q, char x);
bool DeQueue(LQueue &Q, char &x);
bool QueueEmpty(SqQueue Q);
 
// 判断元素ch是否入栈
int JudgeEnStack(SqStack &S, char ch){
    char tp = S.data[S->top];   
    // 如果ch是a~z则返回-1    
    if(ch >= 'a' && ch <= 'z')   
        return -1;    
    // 如果ch是+、-、*、/且栈顶元素优先级大于等于ch则返回0  
    else if(ch == '+' && (tp == '+' || tp == '-' || tp == '*' || tp == '/'))   
        return 0;     
    else if(ch == '-' && (tp == '+' || tp == '-' || tp == '*' || tp == '/'))   
        return 0;  
    else if(ch == '*' && (tp == '*' || tp == '/'))  
        return 0;    
    else if(ch == '/' && (tp == '*' || tp == '/'))     
        return 0;    
    // 如果ch是右括号则返回2   
    else if(ch == ')')      
        return 2;     
    // 其他情况ch入栈，返回1   
    else return 1;
}
 
// 中缀表达式转后缀表达式
int main(int argc, char const *argv[]) {  
    SqStack S;     
    SqQueue Q;	 
    InitStack(S); 
    InitQueue(Q);  
    char ch;	  
    printf("请输入表达式，以“#”结束：");  
    scanf("%c", &ch);   
    while (ch != '#'){  
        // 当栈为空时     
        if(StackEmpty(&S)){ 
            // 如果输入的是数即a~z，直接入队 
            if(ch >= 'a' && ch <= 'z')               
                EnQueue(Q, ch);      	
            // 如果输入的是运算符，直接入栈    
            else                      
                Puch(S, ch);       
        }else{                
            // 当栈非空时，判断ch是否需要入栈 
            int n = JudgeEnStack(S, ch);     
            // 当输入是数字时直接入队      	
            if(n == -1){        	    
                EnQueue(Q, ch);        
            }else if(n == 0){       
                // 当输入是运算符且运算符优先级不高于栈顶元素时    
                while (1){         
                    // 取栈顶元素入队    
                    char tp;        
                    Pop(S, tp);      
                    EnQueue(Q, tp);         
                    // 再次判断是否需要入栈     
                    n = JudgeEnStack(S, ch);
                    // 当栈头优先级低于输入运算符或者栈头为‘)’时，入栈并跳出循环  
                    if(n != 0){           
                        EnStack(S, ch);           
                        break;              
                    }                   
                }            
            }else if(n == 2){  
                // 当出现‘)’时 将()中间的运算符全部出栈入队   
                while(1){                
                    char tp;                
                    Pop(S, tp);             
                    if(tp == '(')          
                        break;        
                    else            
                        EnQueue(Q, tp);    
                }             
            }else{        
                // 当运算符优先级高于栈顶元素或出现‘(’时直接入栈     
                Push(S, ch);         
            }          
        }         
        scanf("%c", &ch);   
    }     
    // 将最后栈中剩余的运算符出栈入队 
    while (!StackEmpty(S)){	  
        char tp;            
        Pop(S, tp);      
        EnQueue(Q, tp);  
    }      
    // 输出队中元素 
    while (!QueueEmpety(Q)){    
        printf("%c ", DeQueue(Q));  
    }    
    return 0;
}

用栈实现中缀表达式的计算:
1.初始化两个栈，操作数栈和运算符栈；
2.若扫描到操作数，压入操作数栈；
3.若扫描到运算符或界限符，则按照“中缀转后缀”相同的逻辑压入运算符栈(期间也会弹出运算符，每当弹出一个运算符时，就需要再弹出两个操作数栈的栈顶元素并执行相应运算，运算结果再压回操作数栈)

image-20250331202409726

leetcode题目练习

150. 逆波兰表达式求值 - 力扣（LeetCode）

class Solution {
public:
    int evalRPN(vector<string>& tokens) {
        stack<int> st;
        for(auto c:tokens)
        {
            if(c=="+")
            {
                int num1=st.top();
                st.pop();
                int num2=st.top();
                st.pop();
                st.push(num1+num2);
            }
            else if(c=="-")
            {
                int num1=st.top();
                st.pop();
                int num2=st.top();
                st.pop();
                st.push(num2-num1);
            }
            else if(c=="*")
            {
                int num1=st.top();
                st.pop();
                int num2=st.top();
                st.pop();
                st.push(num2*num1);
            }
            else if(c=="/")
            {
                int num1=st.top();
                st.pop();
                int num2=st.top();
                st.pop();
                st.push(num2/num1);
            }
            else   
                st.push(stoi(c));
        }
        return st.top();
    }
};
3.3.3. 栈在递归中的应用

函数调用的特点：最后被调用的函数最先执行结束(LIFO)

函数调用时，需要用一个栈存储：

  • 调用返回地址
  • 实参
  • 局部变量

递归调用时，函数调用栈称为 “递归工作栈”:

  • 每进入一层递归，就将递归调用所需信息压入栈顶；
  • 每退出一层递归，就从栈顶弹出相应信息；

缺点：太多层递归可能回导致栈溢出；适合用“递归”算法解决：可以把原始问题转换为属性相同，但规模较小的问题

3.3.4. 队列的应用
  1. 队列应用：树的层次遍历
  2. 队列应用：图的广度优先遍历
  3. 队列应用：操作系统中多个进程争抢着使用有限的系统资源时，先来先服务算法（First Come First Service）是是一种常用策略。

3.4. 特殊矩阵的压缩存储

img

image-20250331211015347

3.4.1 数组的存储

一维数组的存储：各数组元素大小相同，且物理上连续存放。设起始地址为LOC，则数组元素a[i]的存放地址 = LOC + i * sizeof(ElemType) (0≤i<10)（i从0开始的，如果从1开始的话就得变成i-1)

即LOC + (i -1)* sizeof(ElemType) (0≤i<10)

img

二维数组的存储 ：

下面的i，j均从0开始

1.M行N列的二维数组b[M][N]b[M][N]中
设起始地址为LOC
若按行优先存储
则b[i][j]b[i][j]的存储地址 = LOC+(i∗N+j)∗sizeof(ElemType)LOC+(i∗N+j)∗sizeof(ElemType)

2. M行N列的二维数组b[M][N]b[M][N]中
设起始地址为 LOC
若按列优先存储
则b[i][j]b[i][j]的存储地址 = LOC+(i∗N+j)∗sizeof(ElemType)LOC+(i∗N+j)∗sizeof(ElemType)

img

img

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3.4.2 对称矩阵的压缩存储

​ 对称矩阵的压缩存储：若n阶方阵中任意一个元素a_{i,j},都有a_{i,j}=a_{j,i}则该矩阵为对称矩阵，对于对称矩阵，只需存储主对角线+下三角区。若按照行优先原则将各元素存入一维数组中，即a_{i,j}存入到数组B[k]中，那么数组B[k]共有\frac{n(n-1)}{2}+1个元素。对于k，有：

![\left{\begin{matrix}\frac{i(i-1)}{2}+j-1,i\geqslant j & \\frac{n(n-1)}{2},i< j & & \end{matrix}\right.](https://latex.youkuaiyun.com/eq?\left{\begin{matrix}\frac{i(i-1)}{2}+j-1%2Ci\geqslant j %26 \\frac{n(n-1)}{2}%2Ci< j %26 %26 \end{matrix}\right.)img

image-20250331204511497

把下三角区的元素存在一个一维数组里面可以节省快一半的空间，可以建立一个映射函数，用矩阵的行号和列号直接对应访问一维数组，如下图所示(i>=j的情况)

image-20250331204940858

由于B数组下标从0开始，所以减1才可以

如果题目中的数组是从1开始而不是0的话就不需要减1

如果访问的是上三角区域的话，利用a(i,j)=a(j,i)的性质，转换为访问下三角区域即可，表现在公式中就是i，j的位置互换

image-20250331205246424

3.4.3 三角矩阵的压缩存储

  1. 下三角矩阵：除了主对角线和下三角区，其余的元素都相同。

  2. 上三角矩阵：除了主对角线和上三角区，其余的元素都相同。

  3. 压缩存储策略：按行优先原则将主对角线+下三角区存入一维数组中，并在最后一个位置存储常量。

    即a_{i,j}存入到数组B[k]中，那么数组B[k]共有\frac{n(n-1)}{2}+1个元素。对于k，有：

![\left{\begin{matrix} \frac{i(i-1)}{2}+j-1, i\geqslant j& \ \frac{n(n-1)}{2}, i<j& \end{matrix}\right.](https://latex.youkuaiyun.com/eq?\left{\begin{matrix} \frac{i(i-1)}{2}+j-1%2C i\geqslant j%26 \ \frac{n(n-1)}{2}%2C i<j%26 \end{matrix}\right.)

image-20250331205753349

下三角矩阵

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3.4.4 三对角矩阵的压缩存储

三对角矩阵，又称带状矩阵: 当|i-j|>1时，有![a_{i,j} =0(1\leqslant i,j\leqslant n)](https://latex.youkuaiyun.com/eq?a_{i%2Cj} %3D0(1\leqslant i%2Cj\leqslant n))。

第一行和最后一行两个，剩下的都是三个，那就是一共存储3n-2个元素

对于三对角矩阵，按行优先原则，只存储带状部分，即a_{i,j}存入到数组B[k]中，那么![k =3i+j- 3](https://latex.youkuaiyun.com/eq?k %3D2i+j- 3)。

image-20250331210200646image-20250331210608277

最后由k=2i+j-3推出j的值即可

3.4.5 稀疏矩阵的压缩存储

稀疏矩阵的非零元素远远少于矩阵元素的个数。

压缩存储策略：

  • 顺序存储：三元组 <行，列，值>

    缺点：访问某个元素的话只能按照顺序访问

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  • 链式存储：十字链表法

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