蓝桥杯2024年第十五届省赛真题D-回文数组

一、真题

题目描述：

小蓝在无聊时随机生成了一个长度为 n 的整数数组，数组中的第 i 个数为，他觉得随机生成的数组不太美观，想把它变成回文数组，也是就对于任意 i ∈ [1, n] 满足  = 。小蓝一次操作可以指定相邻的两个数，将它们一起加1 或减 1；也可以只指定一个数加 1 或减 1，请问他最少需要操作多少次能把这个数组变成回文数组？

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输入格式：

输入的第一行包含一个正整数 n 。

第二行包含 n 个整数 , , · · · , ，相邻整数之间使用一个空格分隔。

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输出格式：

输出一行包含一个整数表示答案。

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样例输入：

4
1 2 3 4

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 样例输出：

3

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 【评测用例规模与约定】

对于 20% 的评测用例，1 ≤ n ≤ 10；对于所有评测用例，1 ≤ n ≤ 105 ，−106 ≤  ≤ 106 。

二、问题分析 

1. 首先明确“回文”的对称性，即满足例如 12321、123321 等的对称形式。
2. 对于一个非回文的数组，为构造出回文结构，可以固定一半作为参考，修改另一半使其相同。
3. 考虑头部与尾部作差，得到 n//2 长度的待补为0的数组。这里选择左半做头部减去右半尾部，例如 123456，作差得到 -5 -3 -1；例如 34523，作差得到 02 。
4. 接下来便是将作差后得到的数组通过尽可能少的“操作”将其全部变为 0 。例如 -5 -3 -1，前两位执行3次“+1”的操作，得到 -2 0 -1，再分别执行3次单独的“+1”操作，全部补成 0 0 0。一共6次操作，最终得到回文结构。

重点：对于作差后得到的数组，如何使用最少的“操作”，将其全部补为 0。

三、算法设计思路

对与问题分析中的“重点”，出于直觉，我们发现，选择一次“操作”补相邻两位，似乎总是优于一次“操作”仅补一位。因为人们总是优先选择当前收益最大的操作，一次“操作”补两位是要优于一次“操作”仅补一位的。

其实，这就是常说的贪心算法。

此题中实现为：

1. 遍历作差后的数组的每一位
2. 如果当前位与下一位同号且非 0，则同时“操作”两位，使绝对值较小的先补至 0。例如 -2 -3，则“操作”两次，变为 0 -1。记录“操作”次数。
3. 如果当前位与下一位异号或其中一位为 0，则跳至下一位继续第2步，直至最后一组。
4. 遍历完后，数组中未补至 0的则全部执行单独的“操作”，即计算所有位的绝对值的和。
5. 将2中“操作”次数与4中绝对值和相加，即为最终结果。

算法正确性分析：

• 该算法通过优先处理相邻差值，尽可能减少操作次数。

• 对于剩余的差值，直接累加其绝对值，确保所有差值都被消除。

• 最终的操作次数是最优的。

四、代码实现

n = int(input())
nums = list(map(int, input().split()))
arr = [nums[i] - nums[n - i - 1] for i in range(n // 2)]  # 作差
result = 0  # 记录操作次数

for i in range(len(arr) - 1):
    if arr[i] * arr[i + 1] > 0:  # 相邻位同号
        if arr[i] > 0:
            c = min(arr[i], arr[i + 1])
        else:
            c = max(arr[i], arr[i + 1])
        arr[i] -= c
        arr[i + 1] -= c
        result += abs(c)

result += sum(abs(i) for i in arr)  # 操作总次数
print(result)

五、总结 

1. 计算对称位置的差值。

2. 优先通过同时操作相邻两个数来减少操作次数。

3. 对于无法同时操作的差值，单独处理。