最长公共子序列

最长公共子序列

题目描述

给定一个长度为 N 数组 aa 和一个长度为 M 的数组 bb。

请你求出它们的最长公共子序列长度为多少。

输入描述

输入第一行包含两个整数 N,MN,M，分别表示数组 aa 和 bb 的长度。

第二行包含 N 个整数 a1,...,an​。

第三行包含 M 个整数 b1,b2,...,bn。

1≤N,M≤1031≤N,M≤103，1≤ai,bi≤1091≤ai​,bi​≤109。

输出描述

输出一行整数表示答案。

输入输出样例

示例 1

输入

5 6
1 2 3 4 5
2 3 2 1 4 5

输出

4

运行限制

• 最大运行时间：1s
• 最大运行内存: 128M

思想 ：

1. 状态定义

使用二维数组 dp[i][j] 来表示序列 a 的前 i 个元素和序列 b 的前 j 个元素的最长公共子序列的长度。

2. 初始化

将 dp 数组初始化为全 0，即 dp = [[0] * (m + 1) for _ in range(n + 1)]。这是因为当其中一个序列为空时（即 i = 0 或者 j = 0），它们的最长公共子序列长度为 0。

3. 状态转移方程

• 当 a[i] == b[j] 时：说明当前两个元素相等，那么这两个元素可以作为最长公共子序列的一部分。此时，最长公共子序列的长度等于 a 的前 i - 1 个元素和 b 的前 j - 1 个元素的最长公共子序列长度加 1，即 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1。
• 当 a[i] != b[j] 时：这两个元素不能同时作为最长公共子序列的一部分，那么最长公共子序列的长度要么是 a 的前 i - 1 个元素和 b 的前 j 个元素的最长公共子序列长度，要么是 a 的前 i 个元素和 b 的前 j - 1 个元素的最长公共子序列长度，取两者中的最大值，即 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])。

4. 结果

最终结果存储在 dp[n][m] 中，它表示序列 a 的前 n 个元素和序列 b 的前 m 个元素的最长公共子序列的长度。

代码 

##LCS 最长公共子序列
n,m=map(int,input().split())
##状态定义 dp[i][j]表示 a的前i个元素和b的前j个元素的最长公共子序列的长度
a=[0]+list(map(int,input().split()))
b=[0]+list(map(int,input().split()))
##初始化dp全部为0，方便后面从一开始的时候保证边界条件也就是i=0或者j=0时LCS=0
dp=[[0]*(m+1) for _ in range(n+1)]
for i in range(1,n+1):
    for j in range(1,m+1):
##   状态转移方程如果 a[i]=b[j] 当前的最长公共子序列等于前面的dp[i-1][j-1]+1
##        如果a[i]!=b[j] 那么 当前的最长公共子序列等于max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])取最大值
        if a[i]==b[j]:
            dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1
        else:
            dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])
##print(dp[n][m])
##求出最长公共子序列,回溯,最长公共子序列从右下角开始回溯
lcs=[]
i,j=n,m
while i>0 and j>0:
    if a[i]==b[j]:
##        当前是最长公共子序列的一部分加入其中,加入a[i]还是b[j]都行
        lcs.append(a[i])
##        处理当前之后应该继续回溯
##        这里来自左上方 因此要回到左上方
        i-=1
        j-=1
    elif dp[i][j]==dp[i-1][j]:
##从上方来
        i-=1
##        回到上方
    else:
##       从左边来
        j-=1
##        回到左方
lcs.reverse()
##由于是回溯倒退因此要翻转字符串
print(dp[n][m])
print(lcs)