动态规划之简单多状态 dp 问题（下）

买卖股票的最佳时机

题目：买卖股票的最佳时机

思路

• 状态表示：dp[i]表示第i天结束后，处于某个状态的最大利润，我们可以细分为，处于“买入”、“可交易”、“”三种状态

  • dp[i][0]表示：第 i 天结束后，处于“买入”状态的最大利润
  • dp[i][1]表示：第 i 天结束后，处于“可交易”状态的最大利润
  • dp[i][2]表示：第 i 天结束后，处于“冷冻期”状态的最大利润

• 状态转移方程：

  • dp[i][0]：有两种状态可以到达
    • i - 1天也处于“买入”状态，今天什么也不做，仍处于“买入”状态，此时最大受益和i - 1天相同，即dp[i - 1][0]
    • i - 1天也处于“可交易”状态，今天买了股票，此时最大受益为dp[i - 1][1] - price[i]
    • 综上，dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] - prices[i])
  • dp[i][1]：有两种状态可以到达
    • i - 1天也处于“可交易”状态，今天什么也不做，仍处于“可交易”状态，此时最大受益和i - 1天相同，即dp[i - 1][1]
    • i - 1天也处于“冷冻期”状态，今天什么也不做，仍处于“冷冻期”状态，此时最大受益和i - 1天相同，即dp[i - 1][2]
    • 综上，dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][2])
  • dp[i][2]：只有一种状态可以到达
    • i - 1天也处于“买入”状态，今天卖股票，此时最大受益为dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i]

• 初始化：

  • 第0天处于买入状态，dp[0][0] = -prices[0]
  • `第0天处于可交易状态，无操作，dp[0][1] =0
  • 第0天处于冷冻期状态，无操作，dp[0][2] = 0

• 填表顺序：三个表从左向右一起填写

• 返回值：卖出状态下的最大值 max(dp[n-1][1], dp[n-1][2])

C++代码

class Solution
{
   
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) 
    {
   
        int n = prices.size();
        vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(3));

        dp[0][0] = -prices[0];
        for (int i = 1; i < n; ++i) 
        {
   
            dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);
            dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][2]);
            dp[i][2] = dp[i - 1]