数据结构-图的最小生成树

最小生成树介绍

最小生成树(Minimum Cost Spanning Tree)是代价最小的连通网的生成树，即该生成树上的边的权值和最小

最小生成树的性质：

必须使用且仅使用连通网中的n-1条边来联结网络中的n个顶点；

不能使用产生回路的边；

各边上的权值的总和达到最小

最小生成树在连通网场景中应用广泛，例如

在n个城市之间建立通信网络，如何建立成本最小的网络

在n个城市之间建立公路网络，如何建立成本最小的网络

应用场景：“村村通”，我国系统工程，全国行政村互通：公路、电力、生活和饮用水、电话网、有线电视网、互联网等等

村村通公路，村村通水气电，村村通5G，村村通宽带

2025年全国基本实现村村通

Prim算法

普里姆(Prim)算法设计

假设N=(V,E)是连通网

TE是N上最小生成树中边的集合

  1.U={u0}，(u0ÎV), TE={}

  2.在所有uÎU,vÎV-U的边(u,v)ÎE中找一条代价最小的边(u,v0)并入集合TE，同时v0并入U

  3.重复2，直到U=V

算法示例

        普里姆(Prim)算法设计思想：每次找到的最小权值边，一头属于已选顶点U，一头属于未选顶点V-U设置一个辅助数组closedge，用于保存未选顶点的最小权值边closedge，而且这条边的另一个点必然输入已选顶点

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