Kruskal 重构树模板

kruskal重构树模板是基于kruskal最小生成树的一种算法。

性质：

• 是一棵二叉树。

• 如果是按最小生成树建立的话是一个大根堆。

• 强大性质：原图中两个点间所有路径上的边最大权值的最小值 = 最小生成树上两点简单路径的边最大权值 == Kruskal重构树上两点 LCA 的点权。

代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define endl '\n'

using namespace std;

const int N=2e5+5,M=2e5+5,L=20;

int n,m,q;
int now;
int val[M];
int cost[M][25];
int f[M][25];//i点的第2^j个祖先
struct Node{
	int u,v,w;
}e[N];

struct Dsu//并查集
{
	int fa[N];
	void init(int x){for(int i = 1;i<=x;i++) fa[i]=i;}
	int find(int x){return x==fa[x]?x:fa[x]=find(fa[x]);}
	void merge(int x, int y)
	{
		int u=find(x),v=find(y);
		if(u==v) return;
		fa[u]=v;
	}
}dsu;

void kruskalRebuildTree()
{
	dsu.init(2*n);
	sort(e+1,e+1+m,[](Node x,Node y){return x.w<y.w;});
	now=n;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int u=dsu.find(e[i].u),v=dsu.find(e[i].v),w=e[i].w;
		if(u==v) continue;
		val[++now]=w;
		cost[u][0]=val[now];
		cost[v][0]=val[now];
		f[u][0]=f[v][0]=now;
		dsu.merge(u,now);
		dsu.merge(v,now);
	}
}

signed main()
{
	ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>n>>m;
	//输入这条边的两个端点和边权值
	for(int i=1;i<=m;i++) cin>>e[i].u>>e[i].v>>e[i].w;
	
	kruskalRebuildTree();
	
	//用树上倍增求每个点到他的2^j个祖先所经过的最大边权
	for(int j=1;j<=L;j++)
		for(int i=0;i<=now;i++)
			f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1],
			cost[i][j]=max(cost[i][j-1],cost[f[i][j-1]][j-1]);
	
	return 0;
}

例题如下：https://codeforces.com/gym/103446/problem/H

Input

8 10 2
3 1 4 1 5 9 2 6
1 2 7
1 3 11
2 3 13
3 4 1
3 6 31415926
4 5 27182818
5 6 1
5 7 23333
5 8 55555
7 8 37
1 7
8 30

Output

16
36

题解：

⼀张带边权带点权⽆向图。从某点出发，有初始声望。 每第⼀次到达⼀个点将获得点权等值的声望加成。 经过⼀条边需要满⾜边权等值的最低声望限制。 多次给出起点和初始声望，询问能达到的最⼤声望。 按照边权从⼩到⼤建⽴ Kruskal 重构树。每次询问都是从叶⼦ 出发，在树上倍增。向上找到第⼀条不能通过的边（即，该边 下⾯的⼦树的 叶⼦点权和 加上 初始声望 ⼩于该边边权），把 下⾯⼦树的 叶⼦点权和 加上 初始声望 即为答案。

代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define endl '\n'

using namespace std;

const int N=2e5+5,M=2e5+5,L=20;

int n,m,q;
int now;
int val[M];
int c[M];//以i为根节点的子树的w值之和
int cost[M][25];//i节点向上走2^j个节点的花费
int f[M][25];//i节点的第2^j个祖先
struct Node{
	int u,v,w;
}e[N];

struct Dsu//并查集
{
	int fa[N];
	void init(int x){for(int i = 1;i<=x;i++) fa[i]=i;}
	int find(int x){return x==fa[x]?x:fa[x]=find(fa[x]);}
	void merge(int x, int y)
	{
		int u=find(x),v=find(y);
		if(u==v) return;
		fa[u]=v;
	}
}dsu;

void kruskalRebuildTree()
{
	dsu.init(2*n);
	sort(e+1,e+1+m,[](Node x,Node y){return x.w<y.w;});
	now=n;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int u=dsu.find(e[i].u),v=dsu.find(e[i].v),w=e[i].w;
		if(u==v) continue;
		val[++now]=w;
		c[now]=c[u]+c[v];
		cost[u][0]=val[now]-c[u];
		cost[v][0]=val[now]-c[v];
		f[u][0]=f[v][0]=now;
		dsu.merge(u,now);
		dsu.merge(v,now);
	}
}

signed main()
{
	ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>n>>m>>q;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>c[i];
	for(int i=1;i<=m;i++) cin>>e[i].u>>e[i].v>>e[i].w;
	kruskalRebuildTree();
	
	//树上倍增
	for(int j=1;j<=L;j++)
		for(int i=0;i<=now;i++)
			f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1],
			cost[i][j]=max(cost[i][j-1],cost[f[i][j-1]][j-1]);
	
	for(int x,k;q--;)
	{
		cin>>x>>k;
		for(int i=L;i>=0;i--)
			if(cost[x][i]<=k&&f[x][i])
				x=f[x][i];
		cout<<c[x]+k<<endl;
	}
	
	return 0;
}