机器视觉 2.神经网络-优快云博客

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一、线性回归

1.回归（regression）：为一个或多个自变量与因变量之间关系建模的一类方法。在自然科学和社会科学领域，回归经常用来表示输入和输出之间的关系。

2.损失函数（loss function）能够量化目标的实际值与预测值之间的差距。

回归问题中最常用的损失函数是平方误差函数

$l^{(i)}(\mathbf{w}, b) = \frac{1}{2} \left(\hat{y}^{(i)} - y^{(i)}\right)^2.$

为了度量模型在整个数据集上的质量，我们需计算在训练集n个样本上的损失均值（也等价于求和）

$L(\mathbf{w}, b) =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n l^{(i)}(\mathbf{w}, b) =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{1}{2}\left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} + b - y^{(i)}\right)^2$

在训练模型时，我们希望寻找一组参数（ $\mathbf{w}^*, b^*$ ），这组参数能最小化在所有训练样本上的总损失 $\mathbf{w}^*, b^* = \operatorname*{argmin}_{\mathbf{w}, b}\ L(\mathbf{w}, b)$

3.解析解（analytical solution）

线性回归刚好是一个很简单的优化问题。线性回归的解可以用一个公式简单地表达出来，
这类解叫作解析解（analytical solution）。
首先，我们将偏置 $b$ 合并到参数 $\mathbf{w}$ 中，合并方法是在包含所有参数的矩阵中附加一列。
我们的预测问题是最小化 $\|\mathbf{y} - \mathbf{X}\mathbf{w}\|^2$
这在损失平面上只有一个临界点，这个临界点对应于整个区域的损失极小点。
将损失关于 $\mathbf{w}$ 的导数设为0，得到解析解：

$\mathbf{w}^* = (\mathbf X^\top \mathbf X)^{-1}\mathbf X^\top \mathbf{y}$

像线性回归这样的简单问题存在解析解，但并不是所有的问题都存在解析解。
解析解可以进行很好的数学分析，但解析解对问题的限制很严格，导致它无法广泛应用在深度学习里。

4.随机梯度下降（gradient descent）

这种方法几乎可以优化所有深度学习模型。它通过不断地在损失函数递减的方向上更新参数来降低误差。

梯度下降最简单的用法是计算损失函数（数据集中所有样本的损失均值）关于模型参数的导数（在这里也可以称为梯度）。但实际中的执行可能会非常慢：因为在每一次更新参数之前，我们必须遍历整个数据集。因此，我们通常会在每次需要计算更新的时候随机抽取一小批样本，这种变体叫做小批量随机梯度下降（minibatch stochastic gradient descent）

在每次迭代中，我们首先随机抽样一个小批量B，它是由固定数量的训练样本组成的。然后，我们计算小批量的平均损失关于模型参数的导数（也可以称为梯度）。最后，我们将梯度乘以一个预先确定的正数η，并从当前参数的值中减掉。我们用下面的数学公式来表示这一更新过程（∂表示偏导数）：

$(\mathbf{w},b) \leftarrow (\mathbf{w},b) - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \partial_{(\mathbf{w},b)} l^{(i)}(\mathbf{w},b)$

总结一下，算法的步骤如下：
（1）初始化模型参数的值，如随机初始化；
（2）从数据集中随机抽取小批量样本且在负梯度的方向上更新参数，并不断迭代这一步骤。
对于平方损失和仿射变换，我们可以明确地写成如下形式: $\begin{aligned} \mathbf{w} &\leftarrow \mathbf{w} - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \partial_{\mathbf{w}} l^{(i)}(\mathbf{w}, b) = \mathbf{w} - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \mathbf{x}^{(i)} \left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} + b - y^{(i)}\right),\\ b &\leftarrow b - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \partial_b l^{(i)}(\mathbf{w}, b) = b - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} + b - y^{(i)}\right). \end{aligned}$

|B|表示每个小批量中的样本数，这也称为批量大小（batch size）。

η表示学习率（learning rate）。

批量大小和学习率的值通常是手动预先指定，而不是通过模型训练得到的。

这些可以调整但不在训练过程中更新的参数称为超参数（hyperparameter）。

调参（hyperparameter tuning）是选择超参数的过程。超参数通常是我们根据训练迭代结果来调整的，而训练迭代结果是在独立的验证数据集（validation dataset）上评估得到的。

泛化（generalization）找到一组参数，这组参数能够在我们从未见过的数据上实现较低的损失

5.正态分布与平方损失

正态分布： $p(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp\left(-\frac{1}{2 \sigma^2} (x - \mu)^2\right)$

#定义一个Python函数来计算正态分布
def normal(x, mu, sigma):
    p = 1 / math.sqrt(2 * math.pi * sigma**2)
    return p * np.exp(-0.5 / sigma**2 * (x - mu)**2)

# 再次使用numpy进行可视化
x = np.arange(-7, 7, 0.01)

# 均值和标准差对
params = [(0, 1), (0, 2), (3, 1)]
d2l.plot(x, [normal(x, mu, sigma) for mu, sigma in params], xlabel='x',
         ylabel='p(x)', figsize=(4.5, 2.5),
         legend=[f'mean {mu}, std {sigma}' for mu, sigma in params])

就像我们所看到的，改变均值会产生沿x轴的偏移，增加方差将会分散分布、降低其峰值。

均方误差损失函数（简称均方损失）可以用于线性回归的一个原因是：我们假设了观测中包含噪声，其中噪声服从正态分布。

噪声正态分布如下式: $y = \mathbf{w}^\top \mathbf{x} + b + \epsilon$

其中， $\epsilon \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)$

因此，我们现在可以写出通过给定的x观测到特定y的似然（likelihood）： $P(y \mid \mathbf{x}) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp\left(-\frac{1}{2 \sigma^2} (y - \mathbf{w}^\top \mathbf{x} - b)^2\right)$

现在，根据极大似然估计法，参数w和b的最优值是使整个数据集的似然最大的值：

$P(\mathbf y \mid \mathbf X) = \prod_{i=1}^{n} p(y^{(i)}|\mathbf{x}^{(i)})$

根据极大似然估计法选择的估计量称为极大似然估计量。虽然使许多指数函数的乘积最大化看起来很困难，但是我们可以在不改变目标的前提下，通过最大化似然对数来简化。由于历史原因，优化通常是说最小化而不是最大化。我们可以改为最小化负对数似然−log⁡P(y∣X)。由此可以得到的数学公式是： $-\log P(\mathbf y \mid \mathbf X) = \sum_{i=1}^n \frac{1}{2} \log(2 \pi \sigma^2) + \frac{1}{2 \sigma^2} \left(y^{(i)} - \mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} - b\right)^2$