算法复杂度解析：二进制方法与典型应用场景,-优快云博客

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1.算法的常见复杂度

a. $\textit{O}$ ( $3^{n}$ ) :枚举集合的子集个数

“枚举{0,1,…,n-1}所包含的所有大小为k的子集”与二进制状态压缩关系密切，其本质为利用二进制与位元算表示和操作集合，举个例子：

含有n个元素的集合{0,1,…,n-1}，就有n个二进制位，第i个二进制位代表第i个元素，第i个二进制位为1代表第i个元素存在于集合，第i位二进制位为0代表第i个元素不存在于集合。（i<=n）

含有3个元素的集合{0,1,2}，全部子集有0000、0001、0010、0011、0100、0101、0110、0111，其中0000代表空集∅。

二进制数与集合对应关系如下：

我们可以：

（1）取出字典序最小的1的连续区间，1100 1100 → 0000 1100

（2）找到字典序最小的1的位置，1100 1100 → 0000 0100

（3）将字典序最小的1的连续区间置为0，并将区间左侧第一个0置为1，1100 1100 → 1101 0000

（4）将 (1) 取出的区间右移，直至区间中1的个数减少一个，0000 1100 → 0000 0001

（5）将 (4) 的结果与 (3) 的结果取并集，0000 0001 | 1101 0000 → 1101 0001

按照这种方法，我们不难找出后续的子集。

代码如下：

int comb = (1 << k) - 1;

int comb = (1 << k) - 1;
while (comb < 1 << n) {
	//进行针对组合的处理 
	int x = comb & -comb, y = comb + x;
	comb = ((comb&~y) / x >> 1) | y;
}

b. $\textit{O}$ ( $n!$ ) :多见于暴力求解

c. $\textit{O}$ ( $log{_{a}}{n}$ ) ：一般与二分、倍增等方法相关，每次计算后问题的规模会缩小一半。

d.平均算法复杂度：

在某些算法中，实际算法复杂度可能被平均分配过，如在，最小圆覆盖算法，表面上为 $\textit{O}$ ( $n^3$ )，但在随机数据下均摊时间复杂度只是 $\textit{O}$ ( $n^2$ )。

PI的引入

#python
import math
print(math.pi)

//c++
const double PI = acos(-1.0);

二分数组

#法一
mid=(l+r)//2

#法二
mid=(l+r)>>1

取最大值/最小值

list=[1,2,3,4,5]
maxval=max(list)
print(maxval)

算法复杂度分析（进阶）