贪心——最优合并问题

1.最优合并问题

Description

给定k 个排好序的序列s1 , s2,……, sk , 用2 路合并算法将这k 个序列合并成一个序列。假设所采用的2 路合并算法合并2 个长度分别为m和n的序列需要m + n -1次比较。试设计一个算法确定合并这个序列的最优合并顺序，使所需的总比较次数最少。
为了进行比较，还需要确定合并这个序列的最差合并顺序，使所需的总比较次数最多。
对于给定的k个待合并序列，计算最多比较次数和最少比较次数合并方案。
 

Input

输入数据的第一行有1 个正整数k（k≤1000），表示有k个待合并序列。接下来的1 行中，有k个正整数，表示k个待合并序列的长度。

Output

输出两个整数，中间用空格隔开，表示计算出的最多比较次数和最少比较次数。

Samples

Sample #1

Input 

4
5 12 11 2

Output 

78 52

2.代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1004;
int a[N],b[N];
bool cmp(int e,int f)
{
	return e>f;
}
int main()
{
	int k;
	cin>>k;
	for(int i=0;i<k;i++)
	{
		cin>>a[i];
		b[i]=a[i];
	}
	sort(a,a+k);
	sort(b,b+k,cmp);
	int minn=0,maxn=0;
	for(int i=0;i<=k-2;i++)
	{
		a[i+1]+=a[i];
		minn+=a[i+1]-1;
		sort(a+i+1,a+k);
		b[i+1]+=b[i];
		maxn+=b[i+1]-1;
		sort(b+i+1,b+k,cmp);
	}
	cout<<maxn<<" "<<minn<<endl;
	return 0;
}

3.代码解析

这个问题实际上是经典的哈夫曼编码问题，也称为最优合并问题。
   （1）使用std::sort 对数组 a 进行升序排序，这样最小的序列就在数组的前面。
   使用自定义的比较函数 cmp对数组 b 进行降序排序，这样最大的序列就在数组的前面。
   （2）计算最少比较次数（minn）
   通过循环，每次合并两个最小的序列（a[i] 和 a[i+1]），合并后的序列长度为 a[i+1] += a[i]，并且增加比较次数 minn。每次合并后，更新 a数组，并将合并后的序列放到数组的前面，然后对剩余序列重新进行升序排序。
    （3）计算最多比较次数（maxn）
   类似地，每次合并两个最大的序列（b[i]和 b[i+1]），合并后的序列长度为 b[i+1] += b[i]，并且增加比较次数 maxn。每次合并后，更新 b`数组，并将合并后的序列放到数组的前面，然后对剩余序列重新进行降序排序。最后，输出最多比较次数 maxn 和最少比较次数 minn。
    （4）思想
贪心策略：这个问题使用了贪心算法的思想，即在每一步选择中都采取在当前状态下最好或最优的选择，希望这样能导致全局最优解。

4.扩列

（1）sort 函数

在C++中，std::sort 函数是一个非常强大的标准库算法，用于对序列进行排序。它接受三个参数：

要排序的序列的起始迭代器。
要排序的序列的结束迭代器。
一个可选的比较函数或函数对象，它定义了序列元素的排序准则。

（2）cmp 函数的用法

文章中的 cmp 函数是一个比较函数，它接受两个参数 e 和 f，并返回一个布尔值。在这个函数中，它检查 e 是否大于 f。如果 e 大于 f，函数返回 true；否则返回 false。这个函数通常用于 std::sort 的第三个参数，以实现降序排序。

（3）sort 函数的用法

 sort(a, a+k);：这行代码对数组 a 中的前 k 个元素进行升序排序。因为这里没有提供比较函数，所以 sort 使用默认的比较函数，即小于号 <，这意味着元素将按照从小到大的顺序排列，升序。
sort(b, b+k, cmp);：这行代码对数组 b 中的前 k 个元素进行排序，但是使用的是比较函数 cmp。由于 cmp 定义为 e > f，所以这将导致数组 b 按照从大到小的顺序排列，降序。
  在C++标准库中的 std::sort`函数中，区间的表示使用的是左闭右开区间。这意味着区间包括起始位置，但不包括结束位置。具体到 sort(arr, arr+4);`这个调用，它的含义如下：
arr是区间的起始迭代器，表示排序的开始位置。
arr+4是区间的结束迭代器，表示排序的结束位置。
因此，sort(arr, arr+4); 会对数组 arr`的前4个元素进行排序，即索引为0、1、2、3的元素。这是一个左闭右开区间，所以包括索引0的元素，但不包括索引4的元素（即数组的第五个元素）。
 为什么使用左闭右开区间
左闭右开区间的设计有几个优点：
1. 避免越界：使用左闭右开区间可以避免在迭代时越界。
2. 灵活性：这种区间表示允许你轻松地选择子数组进行操作，而不需要额外的逻辑来处理边界条件。
3.一致性：在C++标准库的其他算法中也广泛使用了这种区间表示，保持了语言的一致性。

例如，如果你有一个数组 arr，你可以通过 arr + arr.size()来得到不越界的结束迭代器。 一致性：在C++标准库的其他算法中也广泛使用了这种区间表示，保持了语言的一致性。
示例
假设有一个数组 arr，其元素如下：
int arr[] = {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90};
当你调用 sort(arr, arr+4); 时，排序的结果是：
int sortedArr[4] = {10, 20, 30, 40};
只有数组的前四个元素被排序，结果是 {10, 20, 30, 40}，而数组的其余部分保持不变。这种区间表示确保了排序操作不会影响数组的其他部分，也不会导致数组越界。