根据折半查找法构造的二叉树一定是完全二叉树（附推导过程）&折半查找时间复杂度推导。

我们可以利用数学归纳法证明：对排好序的数组，采用“二分查找”思想（总是取中间元素作为根节点，然后递归构造左右子树）构造出的二叉树一定是完全二叉树。
证明：
n=0时 得到空树，空树满足完全二叉树的定义；
n=1时 得到只有一个节点的树，该树显然是完全二叉树。

假设对于任意小于 n 的正整数 k，用该方法构造出的包含 k 个元素的二叉树都是完全二叉树。

考虑一个包含 n 个元素的排好序数组。

构造根节点：取数组中间元素作为根节点；
划分左右子数组：剩下的 n−1 个元素被分为两部分，左子数组的节点个数为 ⌊ 2n−1 ⌋；右子数组的节点个数为 ⌈ 2n−1 ⌉。

注意到两部分的节点数之差不超过 1，而且通常左侧节点数不少于右侧。

递归构造子树，根据归纳假设：左子数组构造出的左子树是完全二叉树；右子数组构造出的右子树也是完全二叉树。

由于左右子树的节点数之差最多为 1，且左子树节点数不少，整个树的各层（除了最后一层）均能被填满。
最后一层的节点来自左右子树，由于构造过程中总是先填充左侧，再填充右侧，所以最后一层的节点一定是连续地排列在左侧。

因此，整体构造出的树满足完全二叉树的定义。

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折半查找（又叫二分查找）时间复杂度推导：

基本思想： 每次将搜索范围缩小一半，直到找到目标或范围为空。

设时间复杂度为 ( T(n) )，每次操作后问题规模减半，且每次比较操作的时间为常数 ( O(1) )。因此，递推关系为：

$$T(n)=T\left(\frac{n}{2}\right)+O(1)$$

递推关系可以展开为：

$$T(n)=T\left(\frac{n}{2}\right)+C$$

$$T(n)=T\left(\frac{n}{4}\right)+2C$$

$$⋮$$

$$T(n)=T(1)+C\cdot {\log }_{2}n$$

其中，$C$ 为常数，递归深度 $k$ 满足 $$\frac{n}{2^k}=1$$，解得 $k={\log }_{2}n$。

递归式符合主定理，解得时间复杂度为：

$$T(n)=O({\log }_{2}n)$$

最坏情况下，二分查找需要 $$\lfloor {\log }_{2}n\rfloor +1$$ 次循环操作。由于常数项可以忽略不计，因此总时间复杂度为：

$$O(\log n)$$