复杂度——时间复杂度与空间复杂度（bit）

时间复杂度：

在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一 个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知 道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

空间复杂度：

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中 临时占用存储空间大小的量度 。

空间复杂度不是程序占用了多少 bytes 的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。

空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用 大 O 渐进表示法 。

注意： 函数运行时所需要的栈空间 ( 存储参数、局部变量、一些寄存器信息等 ) 在编译期间已经确定好了，因 此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。

故此我们可以简单理解什么是时间复杂度和空间复杂度。

时间复杂度：

举例：

//计算Func1(int N)中++count语句总共执行多少次？
void Func1(int N)
{
int count=0;
for (int i=0;i<N;i++)
{
    for(int j=0;j<N;++j)
    {
        ++count;
    }
}

for(int k=0;k<2*N;++k)
{
    ++count;
} 

int M=10;
while(M--)
{
    ++count;
}

printf("%d\n",count);
}

Func1 执行的基本操作次数 ：

N = 10 F(N) = 130

N = 100 F(N) = 10210

N = 1000 F(N) = 1002010

实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要 大概执行次数，那么这 里我们使用大 O 的渐进表示法。

什么叫大O的渐进表示法呢？

简单来说：

1.用常数1取代运行时间中的所有加减常数

2.在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项

3.如果最高阶项存在且不为1，则去除这个项目相乘的常数，得到的结果就是大O阶

故Func1的时间复杂度为：

所以只需要忽略影响不是很大的项数，得到的大o阶就是所要的时间复杂度

另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：

最坏情况：任意输入规模的最大运行次数 ( 上界 )

平均情况：任意输入规模的期望运行次数

最好情况：任意输入规模的最小运行次数 ( 下界 )

例如：在一个长度为 N 数组中搜索一个数据 x

最好情况： 1 次找到

最坏情况： N 次找到

平均情况： N/2 次找到

在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为 O(N)

实例1：例如计算func2的时间复杂度

void func2(int N) {
int count = 0;
for (int k = 0; k < 2 * N ; k++) {
count++;
}
int M = 10;
while ((M--) > 0) {
count++;
}
System.out.println(count);
}

func2的时间复杂度为:        O(N)

实例2：

// 计算func3的时间复杂度？
void func3(int N, int M) {
int count = 0;
for (int k = 0; k < M; k++) {
count++;
}
for (int k = 0; k < N ; k++) {
count++;
}
System.out.println(count);
}

func3的时间复杂度为：        O(M+N)

注意：因为M和N都是变化的变量，所以都要算上

实例3：

// 计算func4的时间复杂度？
void func4(int N) {
int count = 0;
for (int k = 0; k < 100; k++) {
count++;
}
System.out.println(count);
}

func4的时间复杂度为：        O(1)

注意：因为100为常数与N无关，所有常数都用1来表示

实例4：

// 计算bubbleSort的时间复杂度？
void bubbleSort(int[] array) {
for (int end = array.length; end > 0; end--) {
boolean sorted = true;
for (int i = 1; i < end; i++) {
if (array[i - 1] > array[i]) {
Swap(array, i - 1, i);
sorted = false;
}
}
if (sorted == true) {
break;
}
}
}

其中bubblesort的时间复杂度为：O(N^2)，因为bubblesort里其中n为数组的大小，最坏情况下需要进行n-1轮排序，每轮排序也需要比较和交换n-1次，总共进行了(n-1)+(n-2)+...+2+1 ≈ n^2/2次比较和交换操作。

实例5：

// 计算binarySearch的时间复杂度？
int binarySearch(int[] array, int value) {
    int begin = 0;
    int end = array.length - 1;
    while (begin <= end) {
        int mid = begin + ((end-begin) / 2);
        if (array[mid] < value)
            begin = mid + 1;
        else if (array[mid] > value)
            end = mid - 1;
        else
            return mid;
     }
return -1;
}

要计算二分查找的时间复杂度，则需要抽离出代码进行思考，如下图所示

 我们可以看到，我们把二分查找看成一块长条，在我们的代码中，也分为begin，mid，end.比方我们查找一次，那么我们的查找范围就从begin到end变成begin到mid中再去查找。范围缩小，从中假设我们的运气非常好，在begin和mid中一次便找到我们需要的元素，那么我们可以说最好结果就是查找一次得到我们想要的元素。如果在begin和mid中也依旧没有得到想要的元素，那么就会继续查找，并且接着二分查找我们想要的元素。最坏的情况下，便是一直二分查找，最后从n个元素中最后找到了我们需要的那个元素，此时n个元素中已经被查找到仅剩下一个元素。如同图示所说，N/2/2/2/2/.../2=1便是我们的最坏结果。所以假设找了x次，则除了x个2，最后便是2^x=N.

x=log2N(其中2为底数)

我们也可以通过折纸的方法来表示二分查找的具体思想，最后得到相同的结论。

实例6：

// 计算阶乘递归factorial的时间复杂度？
long factorial(int N) {
return N < 2 ? N : factorial(N-1) * N;
}

要计算阶乘递归斐波那契的时间复杂度，首先得先画图理解，在递归过程中，f(n)分成f(n-1)*n.而f(n-1)又分为f(n-2)*(n-1)......以此类推直到分到f(1)*2才会结束，则可以看到执行次数为n层，则它的时间复杂度就为O(N)

或采用迭代法递推计算：

实例7：

// 计算斐波那契递归fibonacci的时间复杂度？
int fibonacci(int N) {
return N < 2 ? N : fibonacci(N-1)+fibonacci(N-2);
}

此题采用画图的方法进行.如图举例

由图可得，如果是fib(5)，我们从fib(5)开始执行操作，可以得到1个操作，接着往下递归，可以得到fib(4)和fib(3),他们在分别递归，由2个操作，逐渐变成4个操作，如果我们的fib从n开始，即为fib(n)则接着往下其实为8个操作，然后一直继续，直到递归操作得到fib(1)后不再继续。

所以如果更加形象的举例，便得到如上图之结果，将所有的执行次数相加

即为2^0+2^1+2^2+...+2^n=2^n-1次执行操作，最后的时间复杂度自然为O(2^N)

我们根据实例7的问题题设，可以得知，我们可以通过递归来计算斐波那契数列的问题。可是如果通过递归来计算问题，电脑所需要的时间十分漫长，我们是否可以通过更高效的方法来计算斐波那契数列？

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include <stdio.h>
#include <malloc.h>

long long* Fibonacci(size_t N)
{
    long long* fibArray = malloc(sizeof(long long) * (N + 1));
    fibArray[0] = 0;
    if (N == 0)
        return fibArray;

    fibArray[1] = 1;
    // 以空间换时间
    for (int i = 2; i <= N; ++i)
    {
        fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray[i - 2];
    }

    return fibArray;
}

int main()
{
    size_t N = 1000;
    long long* result = Fibonacci(N);

    printf("%lld\n", result[N]);

    // 释放内存
    free(result);

    return 0;
}

 如果通过动态内存开辟，可以更方便地解决递归问题，而且计算量也不如递归庞大。