【树与二叉树】堆的时间复杂度详解以及堆的应用—堆排序、TOP - K问题

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1. 堆的时间复杂度

因为堆是完全二叉树，而满二叉树也是完全二叉树，此处为了简化使用满二叉树来证明
(时间复杂度本来看的就是近似值，多几个节点不影响最终结果)

建堆的调用次数用 T(N) 表示：(从最后一个非叶子节点 <也就是倒数第二层> 开始，最坏的情况下：倒数第二层每个节点最多能向下调 1 次；倒数第三层每个节点最多能向下调 2 次；倒数第四层每个节点最多能向下调 3 次……)

1.1 向下调整建堆

每层节点个数 × 最坏情况向下调整次数：
T(N) = 2^(h-2) × 1 + 2^(h-3) × 2 + … … + 2^1 × (h-2)+2^0*(h-1)

错位相减法
等号左右两边乘个 2 得到一个新公式，再用新公式减去旧的公式，具体见下图

严格来说，向下调整的时间复杂度：N-log(N)–>O(N) [log(N)可以忽略不计]

1.2 向上调整建堆

T(N) = 2^1× 1 + 2^2× 2 + 2^3 ×3+ … … + 2^(h-3)× (h-3) + 2^(h-2) × (h-2)+ 2^(h-1) × (h-1)

综上：向下调整建堆要更优秀，效率更高

但总的来说堆排序的时间复杂度是O(N*logN)

2. 堆的应用

2.1 堆排序

堆创建后，如何进行排序 (升序、降序)
升序建大堆；降序建小堆。不是说升序建小堆；降序建大堆不行，而是因为不好：
如果排升序建小堆：
  1、选出最小的数，最小的数就放在第一个位置
  2、接着就要选次小的数，再选次小的数 … … 不断的选下去，如何选 ？
只能对剩下的 sz-1、sz-2、sz-3 … 个数继续建堆。可想这样的代价是很高的 —— 建堆的时间复杂度是 O(N)，整个时间复杂度就是 O(N^2)，堆的价值没有体现，不如直接循环遍历

如果排升序建大堆：
  1、选出最大的数，与最后一个数交换位置
  2、怎么选出次大、次次大 ？
堆的结构没有被破坏，且最后一个数不看做堆，左右子树依旧是大堆，向下调整即可
最多调整 log₂N 次，整体的时间复杂度是 O(N*log₂N）

对比效率：
冒泡排序和堆排序

			1000			1000000
O(N2)		1000000(1百万）	1000000000000(1万亿）
O(N*log2N)	10000=10*1000	20000000(2千万）=20*1000000

升序建大堆、降序建小堆

向上调整建堆：模拟插入的过程
向下调整建堆：模拟删除的过程，这里从倒数的第一个非叶子节点开始调整

#include<stdio.h>

//实现父子交换的函数
void Swap(int* px, int* py)
{
   
	int temp = *px;
	*px = *py;
	*py = temp;
}
//实现调整
void AdjustDown(int* arr, int sz, int parent)
{
   
	//确定左孩子的下标
	int child = parent * 2 + 1;
	//孩子的下标超出数组的范围就停止
	while (child < sz)
	{
   
		//确定左右孩子中较小/大的那个
			//左孩子大于右孩子，所以让child记录较小孩子的下标 || (arr[child]<arr[child+1]记录较大孩子的下标)
		if (arr[child] > arr[child + 1] && child + 1 < sz)
		{
   
			child++; //(当只有一个左孩子时，会越界，且后面使用时会发生非法访问)
		}
		//判断父亲和小孩子
			//小孩子小于父亲，则交换，且继续调整 || (arr[child]>arr[parent]大孩子大于父亲，则交换，且继续调整)
		if (arr[child] < arr[parent])
		{
   
			Swap(&arr[child], &arr[parent]);
			//迭代
			parent = child;
			//重新确定左孩子的下标(当最后的叶子节点是parent时，这时去确定child会以读的方式越界，但可以不关心)
			child = parent * 2 + 1;
		}
		//小孩子大于父亲，则停止调整
		else
		{
   
			break;
		}
	}
}
//堆排序 -> 效率更高
void HeapSort(int* arr, int sz)
{
   
	//建堆
	int i = 0;
	//从最后一棵树开始调整，也就是最后一个节点的父亲
	for (i = (sz - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
	{
   
		AdjustDown(arr, sz, i);
	}
}
int main()
{
   
	//左右子树都为堆
	int