【JAVA】高效学习数据结构之二叉树基础篇(七千字超详细教程)

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把温柔和例外留给值得的人：比如你

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大家好，这里是新一，请多关照🙈🙉🙊。在本篇博客中，新一将会为大家介绍数据结构与算法之二叉树基础篇，我们知道二叉树在面试的时候出现频率是极高的，所以搞懂二叉树也成了学好数据结构的必经之路，所以为了方便大家理解，新一特地给大家附上了 源码和图片 便于大家理解，干货满满哟。（以下结果均在IDEA中编译）希望在方便自己复习的同时也能帮助到大家。😜😜😜🎪🚀🧰

以下是我们的文章

一.🎪 树的基本结构

树是一种非线性的数据结构操作，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

1.1 🚀 树的特点

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树具有以下特点：
● 有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点。
● 除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、…、Tm，其中每一个集合Ti (1 <= i <=m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继。
● 树是递归定义的。
● 树形结构中，子树之间不能有交集， 否则就不是树形结构
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那么树与非树的区别呢？

1.2 🚀 树的要素

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二叉树概念	解释
节点的度	一个结点含有子树的个数称为该结点的度；如上图：A的度为6
树的度	一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度；如上图：树的度为6
叶子结点或终端结点	度为0的结点称为叶结点；如上图：B、C、H、I...等节点为叶结点
双亲结点或父结点	若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；如上图：A是B的父结点
孩子结点或子结点	一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；如上图：B是A的孩子结点
根结点	一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A
结点的层次	从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推
树的高度或深度	树中结点的最大层次；如上图：树的高度为4
非终端结点或分支结点	具有相同父结点的结点互称为兄弟结点；如上图：B、C是兄弟结点
堂兄弟结点	双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点
结点的祖先	从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先
子孙	以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙
森林	由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林

1.3 🚀 树的表现形式

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等。新一这里给大家介绍孩子兄弟表示法。
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class BTNode3 {
    private char val;//数据域
    private BTNode3 firstChild;//第一个孩子节点
    private BTNode3 nextBrother;//从该节点往右第一个兄弟节点
}

听不懂？没关系，那下面这个还扛得住吗？🏀🏀🏀

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1.4 🚀 树的应用

其实在不知不觉之间树已经深入我们的生活，就比如我们的任务管理器即是一种树形结构：
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二.🎪 二叉树

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：要么为空，要么是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

2.1 🚀 二叉树的特点

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二叉树结构：
1.不存在度大于2的结点
2.它的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

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二叉树有以下几种形态：

注意：即便它是空树或者只有根，它也是二叉树

2.2 🚀 满二叉树与完全二叉树

这两种二叉树非常重要，不管是在做题还是在面试中。

满二叉树

一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为K，且结点总数是 2 ^ k - 1，则它就是满二叉树。

完全二叉树

完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树

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2.3 🚀 二叉树的性质*

以下性质非常重要，请友友们牢记：

1. 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2^(i-1)个结点
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2. 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是 2^K - 1(k>=0)

当深度为K的二叉树最大节点数即为全部放满——满二叉树，把各层最大数相加即可，等比数列求和：2^0 + 2^1 + 2^2 + ...... + 2^(k-1) = 2^k - 1

3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1 。
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对于任意一颗二叉树我们知道它的节点总数 n = n0 + n1 + n2，而它的总边数为n - 1，因为相当于一个子节点一条边，根节点没有边，一个度为2的父节点产生2条边，度为1的父节点产生一条边，叶子节点作为父节点时不产生边，故我们得到以下式子：
n = n0 + n1 + n2
n - 1 = 0 * n0 + 1 * n1 + 2 * n2

两式结合即可以得到 n0＝n2＋1

5. 具有n个结点的完全二叉树的深度k为 log2(n + 1)（以2为底的对数）上取整

先拿一颗满二叉树来举例：我们知道对于它有 2 ^ k - 1 = n，由此可得k = log2(n + 1)

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6. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

🧰练习

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答案：1.B 2.A 3.B 4.B

相信不少小伙伴对第二题有所疑惑吧，不慌我们来看看这棵完全二叉树
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我们发现对于任何一棵完全二叉树来说：

偶数个节点: n1 = 1
奇数个节点: n1 = 0

故第二题：2n = n0 + n1 + n2 = n0 + 1 + n0 - 1 = 2 * n0 = 2n

2.4 🚀 二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储，这里新一先给大家介绍链式存储

二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有孩子表示法和孩子双亲表示法表示方式，具体如下：

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class BTNode1{
    int val;
    private BTNode1 left;//左孩子引用
    private BTNode1 right;//右孩子引用
    //做题以及面试常考
}
class BTNode2{
    int val;
    private BTNode2 left;//左孩子引用
    private BTNode2 right;//右孩子引用
    private BTNode2 parent;//双亲 - 该节点的根节点
    //AVL + 红黑 + B树会用
}

下面我们二叉树的遍历主要用的是孩子表示法

三.🎪 二叉树的遍历

二叉树的遍历十分重要，可以说大部分二叉树的题都要通过二叉树的遍历从而解答，二叉树的遍历一共有四种：前序遍历，中序遍历，后序遍历，层序遍历

3.1 🚀 前序遍历

前序遍历：访问根结点—>根的左子树—>根的右子树

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中序遍历跟后序遍历跟前序遍历那里类似，不过要记住：无论是那种遍历，所有二叉树的子二叉树都要遵循其原则，二叉树的遍历是要通过递归来实现的，见下：

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//前序遍历
    void preOrder(TreeNode root) {//传入二叉树的根
        if (root == null){//判断根是否为空
            return;
        }
        System.out.print(root.val + " ");//打印节点信息
        preOrder(root.left);//递归遍历该根节点的左子树
        preOrder(root.right);//递归遍历该根节点的右子树
    }

前序遍历结果：1 2 3 4 5 6

3.2 🚀 中序遍历

中序遍历：根的左子树—>根节点—>根的右子树。

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//中序遍历
    void inOrder(TreeNode root){//传入二叉树的根
        if (root == null){//判断根是否为空
            return;
        }
        inOrder(root.left);//递归遍历该根节点的左子树
        System.out.print(root.val + " ");//中序打印根节点
        inOrder(root.right);//递归遍历该根节点的右子树
    }

中序遍历结果：3 2 1 5 4 6

3.3 🚀 后序遍历

后序遍历：根的左子树—>根的右子树—>根节点。
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void postOrder(TreeNode root){//传入二叉树的根
        if (root == null){//判断根是否为空
            return;
        }
        postOrder(root.left);//递归遍历该根节点的左子树
        postOrder(root.right);//递归遍历该根节点的右子树
        System.out.print(root.val + " ");//后序打印根节点
    }

后序遍历结果：3 1 5 6 4 1

3.4 🚀 层序遍历

层序遍历：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

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🧰练习

答案：1.A 2.A 3.D 4.A

总结下来这几道题就一个思路：先根据前序遍历或者后序遍历找到根，在通过这个根在中序遍历中找到其左子树和右子树，再通过前序或者后序找到子树的根，如此循环即可画出对应的二叉树

值得注意的是：只知道前序和后续遍历无法唯一确定二叉树，除此之外，知道这三个其中任意两个即可知道唯一确定的二叉树

💕家人们，学到这里我们的数据结构与算法中的e二叉树基础已经彻底弄懂啦，但这只是二叉树结构中很基础的一部分，后续新一还会继续更新二叉树有关内容，包括创建二叉树等方法的实现以及典型例题，如果觉得新一讲得还清楚的话，可以点个赞支持一下哦🥳🥳🥳，后续新一会持续更新JAVA的有关内容，学习永无止境，技术宅，拯救世界！