对数论基础知识的一点见解

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快速幂

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P1226 【模板】快速幂||取余运算 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

code

# python自带快速幂，但是因为要不断取余，所以还是得手打快速幂
a, b, p = map(int, input().split())  # a的b次方对p取余
ans = 1  # a底数，b指数，ans赋为1
a0 = a
b0 = b
while b:
    if b & 1:  # 二进制末尾是1
        ans = ans*a % p  # 相当于指数加上a对应的权值
    a = a*a % p  # a自乘，相当于指数乘2，注意自乘和移位每次都要
    b >>= 1
print(f'{a0}^{b0} mod {p}={ans % p}')

思想本质

将指数按2进制权值展开，以值的乘来代替指数的相加

运用

因为python次方计算自带快速幂，所以一般是用不到的，但是可以用在：

1. 矩阵快速幂

更相减损法

细节

1. 不管是更相减损法还是辗转相除法，都能/要确保前面比后面大
2. 辗转相除法其实就是把更相减损法多次的结果化成一步了，所以辗转相除法的速度一定更快
3. 如果要求更相减损法的次数其实只要用每次辗转相除法+x//y的次数即可（充分体现辗转相除法的正确性与效率）
4. 为什么辗转相除法是小的为零时输出大的呢？其实本质是两个相等或为倍数时，最大公因数是小的那个

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P2090 数字对 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

code

def dfs(x, y, a):  # a次数要作为参数进行剪枝，不然dfs会先进行到最底层才返回来，剪枝的意义就微乎其微了
    if not x % y and y != 1 or a >= ans:  # 要剪枝的
        return ans  # 保证不会进行替换
    return a+x-1 if y == 1 else dfs(y, x % y, a+x//y)


n = int(input())
ans = n-1
for i in range(2, n//2+1):  # i和n-i在更相减损法减一次之后就一样了
    ans = min(ans, dfs(n, i, 0))
print(ans)

对剪枝的理解

1. 根据裴蜀定理，x是y的倍数则相加减就只能得到y的倍数，所以这时y不是1就不可能得到答案。其实能化到（1，1）就证明两数的最大公因数就是1，即两数互质。那么这题其实能产生答案的都是和n互质的，但是求互质的过程就是gcd，还是要走流程，那么这题其实就只要把不是互质的进行剪枝就达到目的了
2. 如果次数已经>=存储的次数就没必要继续下去了

对n//2的图片理解

欧几里得算法（gcd）

code

def gcd(x, y):
    return gcd(y, x % y) if y else x

细节

1. 因为x % y < y，所以一定能确保后面的数字比前面的小，不像更相减损法那样要判断更替，但是最前面的参数输入必须确保前面大才能用
2. 这里把求得的d不断上传，避免使用全局变量，在扩展欧几里得算法（exgcd）里也一样可以这样上传

高效求最大公约数

code

def gcd(a, b):  # 更相减损法与移位相结合(还不用在乎传入的大小)，但要小心0。0一旦传入便是死循环，要根据题意取舍
    if a == b:
        return a
    if a & 1 and b & 1:  # 都是奇数，更相减损法来产生偶数
        a, b = max(a, b), min(a, b)
        return gcd(a-b, b)
    elif b & 1:  # a偶b奇
        return gcd(a >> 1, b)
    elif a & 1:  # a奇b偶
        return gcd(a, b >> 1)
    else:  # 都是偶数
        return gcd(a >> 1, b >> 1) << 1

扩展欧几里得算法（exgcd）

code

def exgcd(a, b):
    """扩展ex欧几里得算法gcd"""
    if not b:
        return 1, 0, a #  这里其实和gcd是一样的，为了不用全局变量一层一层返回就行
    x, y, d = exgcd(b, a % b)
    return y, x-a//b*y, d

细节

1. 对于ax+by=c, 因为后面x的通解要调b//d（d是gcd的结果，一定要整除，不然会带小数点），y要调a//d，基本上d一定要求，但是单独再写一个gcd就意味着要再走一遍流程。从exgcd的递归式中可以知道exgcd里就包含gcd的过程，那为什么不直接在exgcd里返回d呢
2. 一定注意返回值不一定是参数，如果作为参数回溯的时候会把d也覆盖掉，但是不用参数也就意味着必须从底层一层一层返回来用

原理/过程

求特解（exgcd）

1. exgcd是根据变换后的得到的解求原解
2. 先将d提取出来，剩下ax0+by0=d
3. 由辗转相除法联想到bx1+(a % b)y1 = d = bx1+(a-a//b*b)y1 = ay1+b(x1-a//b*y1) = ax0+by0
4. 所以x0 = y1, y0 = x1-a//b*y1
5. 所以只要在递归时每次返回y, x-a//b*y即可
6. 最后深入分析exgcd函数的作用：返回参数在a, b时的x, y。因为最后一层的x， y是已知的（dx+0*y=d)，所以不用通过计算得到，而其它的都要通过下一层来计算得到
7. 一定不要忘了最后的x0和y0要*c//d，来还原最初的变化

求通解

1. 为了前后能同时调整使和相等，调整的幅度都是a*b//d （最大公因数），再除以对应的系数
2. 对x而言就是b//d，

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[P1082 NOIP2012 提高组] 同余方程 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

题目简意

求关于x的同余方程 ax ≡ 1(modb) 的最小正整数解。（即求a模b的最小正整数逆元）

code

def exgcd(a, b):
    """扩展ex欧几里得算法gcd"""
    if not b:
        return 1, 0
    x, y = exgcd(b, a % b)
    return y, x-a//b*y


a0, b0 = map(int, input().split())
x0 = exgcd(a0, b0)[0]
print(x0 % b0)

细节

1. 同余可得ax/b = y……1，即ax-by = 1，因为y自带符号，所以等价于ax+by=1
2. 根据裴蜀定理，gcd(a, b) | 1，所以d=1，a和b互质（这题的特性，省去了d的传递）
3. 因为若x是b的倍数则余数一定是0，所以不用担心最后会输出0

同余通式

若ax ≡ c (mod b)，求x的最小正整数解（a, b, c > 0）

def exgcd(a, b):
    """扩展ex欧几里得算法gcd"""
    if not b:
        return 1, 0，a
    x, y, d = exgcd(b, a % b)
    return y, x-a//b*y, d


a0, b0, c = map(int, input().split())
m = exgcd(a0, b0)
d = m[2]
x0 = m[0]*c//d
print(x0 % (b0//d))  # 必须有括号，不然先运算取余

欧拉筛

code

# 输出a到b范围内的质数，时间复杂度为O(n)
a, b = map(int, input().split())
p = []
s = [1 for _ in range(b+1)]
for i in range(2, b+1):  # 前面的i是数字
    if s[i]:
        p.append(i)
        if i >= a:
            print(i)
    for j in p:  # 后面的i是倍数
        if i*j > b:
            break
        s[i*j] = 0
        if not i % j:  # 如果i是j0的倍数，那后面的都已经被j0筛过了
            break

组合数C

手打组合数

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P1771 方程的解 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

code

fac = [1, 1]
for i in range(2, ans):
    fac.append(fac[-1]*i)
print(fac[ans-1]//fac[ans-k]//fac[k-1])

细节

1. 递推式都可以用-1索引巧妙添加

2. $$C_a^b=fac[a]//fac[a-b]//fac[b]$$

3. 因为b=0时组合数为默认1，而取fac[0] = [1] 带入式子刚好可以达到这个效果，所以直接取1