蓝桥赛前复习7：线性DP&&背包DP-优快云博客

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线性DP：最长公共子序列 (LCS)

最长公共子序列

题目描述

给定一个长度为 NN 数组 aa 和一个长度为 MM 的数组 bb。

请你求出它们的最长公共子序列长度为多少。

输入描述

输入第一行包含两个整数 N,MN,M，分别表示数组 aa 和 bb 的长度。

第二行包含 NN 个整数 a1,a2,...,ana1,a2,...,an。

第三行包含 MM 个整数 b1,b2,...,bnb1,b2,...,bn。

1≤N,M≤1031≤N,M≤103，1≤ai,bi≤1091≤ai,bi≤109。

输出描述

输出一行整数表示答案。

输入输出样例

示例 1

输入

5 6
1 2 3 4 5
2 3 2 1 4 5

输出

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int main() {
    int N, M;
    cin >> N >> M;
    
    vector<int> a(N), b(M);
    
    for (int i = 0; i < N; ++i) cin >> a[i];
    for (int i = 0; i < M; ++i) cin >> b[i];
    
    // dp[i][j]表示a[0..i-1]和b[0..j-1]的最长公共子序列长度
    vector<vector<int>> dp(N + 1, vector<int>(M + 1, 0));
    
    // 动态规划求解
    for (int i = 1; i <= N; ++i) {
        for (int j = 1; j <= M; ++j) {
            if (a[i - 1] == b[j - 1]) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
            } else {
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
            }
        }
    }
    
    // 最长公共子序列的长度在dp[N][M]中
    cout << dp[N][M] << endl;
    
    return 0;
}

线性DP：最长递增子序列（LIS）

蓝桥骑士

题目描述

小明是蓝桥王国的骑士，他喜欢不断突破自我。

这天蓝桥国王给他安排了 NN 个对手，他们的战力值分别为 a1,a2,...,ana1,a2,...,an，且按顺序阻挡在小明的前方。对于这些对手小明可以选择挑战，也可以选择避战。

身为高傲的骑士，小明从不走回头路，且只愿意挑战战力值越来越高的对手。

请你算算小明最多会挑战多少名对手。

输入描述

输入第一行包含一个整数 NN，表示对手的个数。

第二行包含 NN 个整数 a1,a2,...,ana1,a2,...,an，分别表示对手的战力值。

1≤N≤3×1051≤N≤3×105，1≤ai≤1091≤ai≤109。

输出描述

输出一行整数表示答案。

输入输出样例

示例 1

输入

6
1 4 2 2 5 6

输出

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

int main() {
    int N;
    cin >> N;
    vector<int> a(N);
    
    for (int i = 0; i < N; ++i) {
        cin >> a[i];
    }
    
    // lis数组存储的是递增子序列的最后一个元素
    vector<int> lis;
    
    for (int i = 0; i < N; ++i) {
        // 使用lower_bound查找a[i]应该插入的位置
        auto it = lower_bound(lis.begin(), lis.end(), a[i]);
        
        if (it == lis.end()) {
            // 如果没有找到合适的位置，就将a[i]加入lis的末尾
            lis.push_back(a[i]);
        } else {
            // 否则，替换掉最小的一个大于或等于a[i]的元素
            *it = a[i];
        }
    }
    
    // lis的大小即为最长递增子序列的长度
    cout << lis.size() << endl;
    
    return 0;
}

背包DP：0/1 背包问题

题目描述

小明有一个容量为 VV 的背包。

这天他去商场购物，商场一共有 NN 件物品，第 ii 件物品的体积为 wiwi，价值为 vivi。

小明想知道在购买的物品总体积不超过 VV 的情况下所能获得的最大价值为多少，请你帮他算算。

输入描述

输入第 11 行包含两个正整数 N,VN,V，表示商场物品的数量和小明的背包容量。

第 2∼N+12∼N+1 行包含 22 个正整数 w,vw,v，表示物品的体积和价值。

1≤N≤1021≤N≤102，1≤V≤1031≤V≤103，1≤wi,vi≤1031≤wi,vi≤103。

输出描述

输出一行整数表示小明所能获得的最大价值。

输入输出样例

示例 1

输入

输出

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

int main() {
    int N, V;
    cin >> N >> V;
    
    // dp[i]表示容量为i的背包能装的最大价值
    vector<int> dp(V + 1, 0);
    
    // 输入物品的体积和价值
    for (int i = 0; i < N; ++i) {
        int w, v;
        cin >> w >> v;
        
        // 倒序更新dp数组，避免重复使用物品
        for (int j = V; j >= w; --j) {
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - w] + v);
        }
    }
    
    // 最终的最大价值为dp[V]
    cout << dp[V] << endl;
    
    return 0;
}

背包DP：完全背包问题

问题描述

有 NN 件物品和一个体积为 MM 的背包。第 ii 个物品的体积为 vivi，价值为 wiwi。每件物品可以使用无限次。

请问可以通过什么样的方式选择物品，使得物品总体积不超过 MM 的情况下总价值最大，输出这个最大价值即可。

输入格式

第一行输入两个正整数 N,MN,M。(1≤N,M≤1000)(1≤N,M≤1000)

接下来 NN 行，每行输入两个整数 vi,wivi,wi。(0≤vi,wi≤1000)(0≤vi,wi≤1000)

输出格式

输出一个整数，表示符合题目要求的最大价值。

样例输入

样例输出

说明

你可以选择 11 个第一个物品和 22 个第二个物品。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

int main() {
    int N, M;
    cin >> N >> M;
    
    vector<int> dp(M + 1, 0); // dp[i]表示容量为i的背包能获得的最大价值
    
    // 输入物品的体积和价值
    for (int i = 0; i < N; ++i) {
        int v, w;
        cin >> v >> w;
        
        // 完全背包：从v到M遍历更新dp数组
        for (int j = v; j <= M; ++j) {
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - v] + w);
        }
    }
    
    // 最终的最大价值为dp[M]
    cout << dp[M] << endl;
    
    return 0;
}