Python:递归

一、递归的核心思想

递归（Recursion）​ 是一种通过 ​函数调用自身 来解决问题的编程技巧。它将一个大问题分解为更小的、结构相似的子问题，直到达到可以直接解决的简单情况（称为 ​基线条件）。

🌰 经典例子：计算阶乘

• ​问题：计算 n! = n × (n-1) × ... × 1
• ​递归思路：

  def factorial(n):
      if n == 1:         # 基线条件
          return 1
      else:
          return n * factorial(n-1)  # 递推关系

• ​关键点：n! 的问题被分解为计算 (n-1)!，直到 n=1 时直接返回结果。

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​二、递归的三要素

任何递归都必须包含以下三个部分，缺一不可：

1. ​基线条件（Base Case）​

• ​作用：终止递归的出口，防止无限循环。
• ​示例：在阶乘中，n == 1 时返回 1。

2. ​递推关系（Recurrence Relation）​

• ​作用：将大问题转化为更小的同类问题。
• ​示例：factorial(n) = n * factorial(n-1)。

3. ​递归调用（Self Call）​

• ​作用：函数内部调用自身处理子问题。
• ​注意：每次调用必须向基线条件靠近。

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​三、递归的执行过程

理解递归的关键是 ​模拟调用栈（Call Stack）​ 的行为。每次递归调用会将当前状态压入栈，直到遇到基线条件后逐层返回。

🌰 以 factorial(3) 为例：

1. ​调用栈展开：

   factorial(3)
   → 3 * factorial(2)
       → 2 * factorial(1)
           → 返回 1
       ← 2 * 1 = 2
   ← 3 * 2 = 6

2. ​最终结果：6

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​四、递归的优缺点

✅ ​优点

• ​代码简洁：适合处理树形结构（如文件系统遍历、DOM树）。
• ​逻辑清晰：如分治算法（快速排序、归并排序）。

❌ ​缺点

• ​栈溢出风险：深度递归可能导致栈溢出（Stack Overflow）。
• ​重复计算：如斐波那契数列递归会重复计算子问题。

🛠️ ​优化方法

• ​尾递归优化：某些编译器能优化尾递归（如函数最后一步是递归调用）。
• ​记忆化（Memoization）​：缓存已计算的结果（如用装饰器 @lru_cache）。

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​五、递归 vs 迭代

​递归	​迭代
依赖函数调用自身	使用循环结构
代码简洁但可能低效	通常效率更高
适合分治问题	适合简单重复问题

🌰 斐波那契数列对比

# 递归（低效，O(2^n)）
def fib(n):
    if n <= 1:
        return n
    return fib(n-1) + fib(n-2)

# 迭代（高效，O(n)）
def fib_iter(n):
    a, b = 0, 1
    for _ in range(n):
        a, b = b, a + b
    return a

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​六、递归的典型应用场景

1. ​树/图遍历：如二叉树的先序、中序、后序遍历。
2. ​回溯算法：如八皇后问题、数独求解。
3. ​分治算法：如归并排序、快速排序。
4. ​动态规划：如背包问题（需结合记忆化）。

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​七、如何写出正确的递归？

1. ​明确基线条件：确保递归最终能终止。
2. ​缩小问题规模：每次递归必须更接近基线条件。
3. ​假设子问题已解决：相信递归能正确处理更小的问题（类似数学归纳法）。