树是 “非线性结构” 的代表（区别于线性表的 “一对一”，树是 “一对多”），而二叉树是树结构中最常用、考试最核心的类型（90% 的树相关题目围绕二叉树展开）。比如电脑中的文件系统（C 盘→文件夹→文件）、数据库中的 B + 树索引，都基于树结构设计。下文从 “树的基本概念” 入手，重点拆解二叉树的性质、遍历和特殊类型，确保每个考点都有 “例子 + 计算”。
一、先搞懂：树的基本概念（基础铺垫）
树的结构像 “自然界的树”，有根、枝、叶，先记清核心术语（考试常考术语辨析）：
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术语 |
通俗解释 |
例子（以文件系统树为例） |
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根节点 |
树的最顶层节点（没有父节点） |
C 盘（整个文件系统的根） |
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父节点 / 子节点 |
直接上层节点为父，直接下层节点为子 |
“文档” 文件夹是 “C 盘” 的子节点，“C 盘” 是父节点 |
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叶子节点 |
没有子节点的节点（树的最底层） |
“简历.docx” 文件（没有下层内容） |
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节点的度 |
该节点拥有的子节点数量 |
“文档” 文件夹有 3 个文件→度为 3 |
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树的深度 |
从根节点到最底层叶子节点的层数（根为 1 层） |
C 盘→文档→简历.docx→深度为 3 |
关键提醒：树的 “深度” 计算有两种说法（根为 0 层或 1 层），考试中若未说明，默认 “根为 1 层”（按官方教程标准）。
二、核心考点 1：二叉树的定义与重要性质
二叉树是 “每个节点最多有两个子节点” 的树（左子节点和右子节点，顺序不能乱），比如 “左子树存小于父节点的值，右子树存大于父节点的值”（后续二叉搜索树会讲）。考试重点考二叉树的 5 个重要性质（常考计算），需熟记并会应用。
1. 二叉树的 5 个重要性质（必背 + 计算）
性质 1：第 i 层最多有 2^(i-1) 个节点（i≥1）
- 解释：第 1 层（根）最多 1 个（2^0=1），第 2 层最多 2 个（2^1=2），第 3 层最多 4 个（2^2=4），以此类推；
- 计算示例：求第 5 层最多有多少个节点？→ 2^(5-1)=16 个。
性质 2：深度为 k 的二叉树，最多有 2^k -1 个节点（k≥1）
- 解释：所有层的最大节点数相加（1+2+4+...+2^(k-1) = 2^k -1）；
- 计算示例：深度为 3 的二叉树最多有多少节点？→ 2^3 -1=7 个（1+2+4）。
性质 3：任意二叉树，叶子节点数 = 度为 2 的节点数 + 1（记为 n0 = n2 + 1）
- 解释：度为 0 的是叶子节点（n0），度为 1 的是有 1 个孩子的节点（n1），度为 2 的是有 2 个孩子的节点（n2）；总节点数 n = n0 + n1 + n2，同时通过 “边” 的数量推导可得 n0 = n2 +1；
- 计算示例：某二叉树有 5 个度为 2 的节点，3 个度为 1 的节点，求叶子节点数？→ n0=5+1=6 个，总节点数 = 6+3+5=14 个。
性质 4：完全二叉树的叶子节点数（重点）
完全二叉树是 “除最后一层外，每一层节点数都满，最后一层节点从左到右排满（不能空左缺右）”（后续会细讲），其叶子节点数满足：
- 若总节点数 n 为奇数：n0 = (n+1)/2；
- 若总节点数 n 为偶数：n0 = n/2；
- 计算示例：完全二叉树有 15 个节点（奇数）→ n0=(15+1)/2=8 个；有 14 个节点（偶数）→ n0=14/2=7 个。
性质 5：完全二叉树中，节点 i（从根开始按层编号，左到右）的左孩子是 2i，右孩子是 2i+1（父节点是 i//2）
- 解释：根节点编号 1，第 2 层左 2 右 3，第 3 层左 4 右 5、左 6 右 7，以此类推；
- 计算示例：编号为 5 的节点，左孩子 = 2×5=10，右孩子 = 2×5+1=11，父节点 = 5//2=2（整除）。
2. 特殊二叉树（考试高频）
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类型 |
定义 |
关键特征（便于判断） |
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满二叉树 |
深度为 k，且节点数 = 2^k -1（每一层都满） |
叶子节点全在最后一层，没有度为 1 的节点 |
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完全二叉树 |
除最后一层外全满，最后一层从左到右排满 |
度为 1 的节点最多 1 个（要么 0 个，要么 1 个） |
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二叉搜索树（BST） |
左子树所有节点值＜父节点值，右子树所有节点值＞父节点值 |
中序遍历结果是 “从小到大的有序序列” |
判断示例：
- 深度为 3，节点数 7→满二叉树（也是完全二叉树）；
- 深度为 3，节点数 6→完全二叉树（最后一层左 4、5，缺 6、7）；
- 深度为 3，节点数 5→不是完全二叉树（最后一层左 4，缺 5，右 6 存在→空左缺右，不符合）。
三、核心考点 2：二叉树的遍历（必考）
遍历是 “按一定顺序访问二叉树的所有节点”，考试重点考 3 种遍历方式：前序（根→左→右）、中序（左→根→右）、后序（左→右→根），核心是 “递归思想”（也可用栈 / 队列实现非递归，但考试重点考递归逻辑）。
1. 三种遍历的定义（记顺序）
以如下二叉树为例（根 A，左子树 B，右子树 C；B 的左 D，右 E；C 的左 F）：
A
/ \
B C
/ \ /
D E F
（1）前序遍历（根→左→右）
步骤：先访问根节点，再递归遍历左子树，最后递归遍历右子树；
遍历结果：A → B → D → E → C → F。
（2）中序遍历（左→根→右）
步骤：先递归遍历左子树，再访问根节点，最后递归遍历右子树；
遍历结果：D → B → E → A → F → C。
（3）后序遍历（左→右→根）
步骤：先递归遍历左子树，再递归遍历右子树，最后访问根节点；
遍历结果：D → E → B → F → C → A。
2. 遍历结果推导（真题高频）
考试常考 “已知两种遍历结果，求第三种”，核心是 “中序遍历 + 前序 / 后序，可唯一确定二叉树”（前序 + 后序不能唯一确定，因无法判断左 / 右子树范围）。
推导示例：已知前序 A→B→D→E→C→F，中序 D→B→E→A→F→C，求后序。
Step1：前序的第一个节点是根（A）；
Step2：在中序中找 A 的位置，左边是左子树（D→B→E），右边是右子树（F→C）；
Step3：前序中 A 之后的节点是左子树的前序（B→D→E），再之后是右子树的前序（C→F）；
Step4：对左子树（根 B）重复 Step1-Step3：中序左 D，右 E→前序 B→D→E，中序 D→B→E；
Step5：对右子树（根 C）重复 Step1-Step3：中序左 F，右空→前序 C→F，中序 F→C；
Step6：按后序规则遍历，结果 D→E→B→F→C→A（和之前一致）。
3. 遍历的应用场景
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遍历方式 |
应用场景 |
例子 |
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前序遍历 |
复制二叉树、获取树的前缀表达式 |
按前序顺序复制节点，保持树结构 |
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中序遍历 |
二叉搜索树排序（从小到大） |
中序遍历 BST，得到有序序列 |
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后序遍历 |
计算二叉树的节点数、高度（先算子树） |
后序遍历每个节点时，累加子树节点数 |
四、核心考点 3：二叉树的高度计算（常考）
树的高度（深度）是 “从根到最远叶子节点的层数”，考试常考 “根据遍历结果或节点数计算高度”，核心是 “递归计算左、右子树高度，取最大值 + 1（根节点）”。
1. 已知二叉树结构，计算高度
以上面的二叉树为例：
- 根 A 的左子树（B）高度：B 的左 D（高度 1）、右 E（高度 1）→ 左子树高度 = 1+1=2；
- 根 A 的右子树（C）高度：C 的左 F（高度 1）、右空→ 右子树高度 = 1+1=2；
- 根 A 的高度 = max (2,2)+1=3。
2. 已知完全二叉树的节点数，计算高度
完全二叉树的高度 k 满足：2^(k-1) ≤ n < 2^k（n 是总节点数），高度 k=⌈log₂(n+1)⌉（向上取整）或 k=⌊log₂n⌋+1（向下取整）。
计算示例：
- n=15（满二叉树）：2^(3-1)=4 ≤15 <8=2^3？不对，2^(4-1)=8 ≤15 <16=2^4→k=4；
- n=10：2^(3-1)=4 ≤10 <8？不对，2^3=8 ≤10 <16=2^4→k=4；
- 公式验证：⌊log₂10⌋+1=3+1=4（正确）。
五、备考小贴士（3 步搞定）
- 记性质与公式：重点背二叉树的 5 个性质（尤其是 n0=n2+1、完全二叉树的叶子节点数和高度计算），每天花 5 分钟默写；
- 练遍历推导：找 10 道 “已知前序 + 中序，求后序” 的题目，按 “找根→分左右子树→递归” 的步骤练习，确保能快速推导；
- 辨特殊二叉树：记住满二叉树、完全二叉树、BST 的关键特征（如完全二叉树度为 1 的节点最多 1 个），做题时先判断类型，再用对应性质计算。
下一篇【基础知识】专栏将讲解 “图结构基础”（图的定义、存储、遍历），图是更复杂的非线性结构（“多对多”），考试中常结合 “最短路径”“拓扑排序” 出题，建议提前回顾树的遍历逻辑（图的遍历是树遍历的延伸）。
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