数据结构-排序算法和树补充内容-优快云博客

本文详细介绍了堆排序算法的原理和步骤，包括如何构建大根堆和进行排序，并通过实例演示了排序过程。同时，讲解了哈夫曼树的概念，包括带权路径长度、最优二叉树等，并通过示例展示了哈夫曼树的构造过程。堆排序的时间复杂度为O(nlogn)，而哈夫曼树是用于优化路径长度的数据结构。

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1.堆排序

2.哈(赫)夫曼树

1.堆排序

首先我们了解一下什么是堆？

堆的介绍

堆是一种叫做完全二叉树的数据结构，可以分为大根堆，小根堆，而堆排序就是基于这种结构而产生的一种程序算法。

堆的分类

大根堆:每个结点的值都大于其的左孩子和右孩子节点的值。如下图所示的是大根堆：

小根堆:每个结点的值都小于其左孩子和右孩子结点的值。如下图所示的是小根堆：

两种结构映射到数组为:

还有一个基本概念：查找数组中某个数的父结点和左右孩子结点，比如已知索引为i的数（索引就是数组的下标，这里的从0开始），那么：

1.父结点索引：(i-1)/2（这里计算机中的除以2，省略掉小数）

2.左孩子索引：2*i+1 3.右孩子索引：2*i+2

所以上面两个数组可以脑补成堆结构，因为他们满足堆的定义性质：大根堆：arr(i)>arr(2*i+1) && arr(i)>arr(2*i+2) 小根堆：arr(i)<arr(2*i+1) && arr(i)<arr(2*i+2)。

排序思想：

1.首先将待排序的数组构造成一个大根堆，此时，整个数组的最大值就是堆结构的顶端。

2.将顶端的数与末尾的数交换，此时，末尾的数为最大值，剩余待排序数组个数为n-1 。

3.将剩余的n-1个数再构造成大根堆，再将顶端数与n-1位置的数交换，如此反复执行，便能得到有序数组。

注意:升序用大根堆，降序就用小根堆(默认为升序)

那如何构造大根堆？

接下来就来讲一个例子来让大家更好地理解！

首先我们给定一个无序的序列，将其看做一个堆结构，一个没有规则的二叉树，将序列里的值按照从上往下，从左到右依次填充到二叉树中。

对于一个完全二叉树，在填满的情况下（非叶子节点都有两个子节点），每一层的元素个数是上一层的二倍，根节点数量是1，所以最后一层的节点数量，一定是之前所有层节点总数+1，所以，我们能找到最后一层的第一个节点的索引，即节点总数/2（根节点索引为0），这也就是第一个叶子节点，所以第一个非叶子节点的索引就是第一个叶子结点的索引-1。那么对于填不满的二叉树呢？这个计算方式仍然适用，当我们从上往下，从左往右填充二叉树的过程中，第一个叶子节点，一定是序列长度/2，所以第最后一个非叶子节点的索引就是 arr.len / 2 -1，对于此图数组长度为5，最后一个非叶子节点为5/2-1=1，即为6这个节点那么如何构建呢？我们找到了最后一个非叶子节点，即元素值为6的节点，比较它的左右节点中最大的一个的值，是否比他大，如果大就交换位置。

在这里5小于6,而9大于6，则交换6和9的位置，如下图所示：

找到下一个非叶子节点4，用它和它的左右子节点进行比较，4大于3，而4小于9，交换4和9位置，如下图所示：

此时发现4小于5和6这两个子节点，我们需要进行调整，左右节点5和6中，6大于5且6大于父节点4，因此交换4和6的位置，如下图所示：

此时我们就构造出来一个大根堆,接下来进行排序：

首先将顶点元素9与末尾元素4交换位置，此时末尾数字为最大值。排除已经确定的最大元素，将剩下元素按上面的方法再重新构建大根堆。一次交换重构如图:

此时元素9已经有序，末尾元素则为4(每调整一次，调整后的尾部元素在下次调整重构时都不能动)。二次交换重构如图:

最终排序结果如下图所示:

由此，我们可以归纳出堆排序算法的步骤：

1. 把无序数组构建成二叉堆。

2. 循环删除堆顶元素，移到集合尾部，调节堆产生新的堆顶。

当我们删除一个最大堆的堆顶（并不是完全删除，而是替换到最后面），经过自我调节，第二大的元素就会被交换上来，成为最大堆的新堆顶。

正如下图所示，当我们删除值为9的堆顶节点，经过调节，值为6的新节点就会顶替上来；当我们删除值为6的堆顶节点，经过调节，值为5的新节点就会顶替上来.......

由于二叉堆的这个特性，我们每一次删除旧堆顶，调整后的新堆顶都是大小仅次于旧堆顶的节点。那么我们只要反复删除堆顶，反复调节二叉堆，所得到的集合就成为了一个有序集合，堆排序是不稳定的排序，空间复杂度为O(1),平均的时间复杂度为O(nlogn),最坏情况下也稳定在O(nlogn) 。

void HeapAdjust(int* arr, int start, int end)
{
	int tmp = arr[start];
	for (int i = 2 * start + 1; i <= end; i = i * 2 + 1)
	{
		if (i < end&& arr[i] < arr[i + 1])//有右孩子并且左孩子小于右孩子
		{
			i++;
		}//i一定是左右孩子的最大值
		if (arr[i] > tmp)
		{
			arr[start] = arr[i];
			start = i;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
	arr[start] = tmp;
}
void HeapSort(int* arr, int len)
{
	//第一次建立大根堆，从后往前依次调整
	for(int i=(len-1-1)/2;i>=0;i--)
	{
		HeapAdjust(arr, i, len - 1);
	}
	//每次将根和待排序的最后一次交换，然后在调整
	int tmp;
	for (int i = 0; i < len - 1; i++)
	{
		tmp = arr[0];
		arr[0] = arr[len - 1-i];
		arr[len - 1 - i] = tmp;
		HeapAdjust(arr, 0, len - 1-i- 1);
	}
}
int main()
{
	int arr[] = { 9,5,6,3,5,3,1,0,96,66 };
	HeapSort(arr, sizeof(arr) / sizeof(arr[0]));
	printf("排序后为:");
	for (int i = 0; i < sizeof(arr) / sizeof(arr[0]); i++)
	{
		printf("%d ", arr[i]);
	}
	return 0;
}

2.哈(赫)夫曼树

1.路径一个结点到另外一个结点的通路，称为路径。（祖先结点到子孙结点）
2.路径长度：每经过一个结点，路径长度就增加1，不包括起始结点的。
3.结点权值：对于结点赋予一个数值，表示结点的权值比较：结点元素出现的次数。
4.带权路径长度：从根点出发到该结点的路径长度乘以该结点的权值。
5.树的带权路径长度 (WPL)：树中所有叶子结点的带权路径长度之和。
6.哈夫曼树：最优二叉树，由n个叶结点组成的二叉树的带权路径长度最短。
7.结点相同，构成的哈夫曼树可能不唯一，但树的带权路径长度相等。
8.把n个结点构成哈夫曼树，这n个结点必然作为叶子结点，需要添加n-1个分支结点。
构造哈(赫)夫曼树：

遵循的原则：权重越大离根结点越近
算法描述过程：
1.把n个叶结点看作n棵独立的树，构成森林F。
2.创建一个新的结点，然后从森林F中选取两棵根结点权值最小的树作为新结点的左右子树，并且把新的结点的权值设置为这两棵树根结点权值之和。
3.从森林F中把刚才选取两棵树删除，并且把新的结点作为树的根结点加入到森林中。
4.重复2和3的步骤，直到森林中只剩下一棵树为止。

接下来就来讲讲一道例题方便大家理解吧！

例题：将题目给的这些数字构造成哈(赫)夫曼树：2，8，7，6，5。

首先对这些数字进行排序：2，5，6，7，8。

选择其中最小的两个数：2，5组成左右子树，它们的和成为子树的根结点，如下图：