二分法（Binary Search）

目录

一、基本思想

二、二分法的典型应用

1. 有序数组查找

2. 数学求根问题

三、时间复杂度与复杂度分析

四、优缺点

五、常见变体与注意事项

六、应用场景

---

二分法（Binary Search）是一种高效的查找和逼近算法，核心思想是通过不断将问题规模对半分，缩小搜索范围，直到找到目标值或满足条件的结果。它广泛应用于有序数组查找、方程求根、最优化问题等场景。

一、基本思想

1. 分治策略：将原问题分解为规模更小的子问题，每次排除一半不可能的解。
2. 有序性前提：数据必须有序（如升序或降序），这是二分法高效的关键。
3. 逐步逼近：通过比较中间值与目标值的关系，确定下一步搜索的区间。

二、二分法的典型应用

1. 有序数组查找

场景：在有序数组中快速找到目标值的位置。
步骤：

1.初始化左右指针

left=0, right=len(arr)-1

2.计算中间索引（避免整数溢出）

mid = left + (right - left) // 2

3.比较 中间值arr[mid] 与目标值 target：

• 若 arr[mid] == target，返回 mid。
• 若 arr[mid] < target，说明目标在右半区，更新 left = mid + 1。
• 若 arr[mid] > target，说明目标在左半区，更新 right = mid - 1。

4.重复直到 left > right，未找到则返回 -1。

代码示例：

def binary_search(arr, target):
    left, right = 0, len(arr) - 1
    while left <= right:
        mid = left + (right - left) // 2
        if arr[mid] == target:
            return mid
        elif arr[mid] < target:
            left = mid + 1
        else:
            right = mid - 1
    return -1

2. 数学求根问题

场景：求解连续函数 f(x)=0 的近似根（如 f(x)=x^3 - x - 2）。
前提：函数在区间 [a, b] 内连续，且 f(a) 和 f(b) 异号（由介值定理保证存在根）。
步骤：

1.初始化区间 [a, b]，确保 f(a) * f(b) < 0。

2.计算中点 c = (a + b) / 2。

3.判断 f(c) 的符号：

• 若 f(c) == 0 或达到精度要求，返回 c。
• 若 f(c) * f(a) < 0，根在 [a, c]，更新 b = c。
• 否则根在 [c, b]，更新 a = c。

4.重复直到区间长度小于预设精度（如 1e-6）。

代码示例：

def find_root(f, a, b, epsilon=1e-6):
    if f(a) * f(b) >= 0:
        raise ValueError("区间 [a, b] 内无根或端点符号相同")
    while b - a > epsilon:
        c = (a + b) / 2
        if f(c) == 0:
            return c
        if f(a) * f(c) < 0:
            b = c
        else:
            a = c
    return (a + b) / 2

三、时间复杂度与复杂度分析

• 时间复杂度：O(logn)，每次将数据规模减半。
• 空间复杂度：O(1)（迭代实现）或 O(logn)（递归实现，取决于调用栈深度）。

四、优缺点

优点	缺点
高效，远快于线性搜索 O(n)	要求数据必须有序
实现简单	仅适用于可随机访问的数据结构
适用于大规模数据	对非单调性问题不适用

五、常见变体与注意事项

1. 查找第一个/最后一个出现的位置：通过调整条件处理重复元素。
2. 旋转有序数组查找：结合二分法判断旋转点位置。
3. 实数域上的精度控制：设置合理的终止条件（如区间长度小于 1e-6）。
4. 防止整数溢出：使用 mid = left + (right - left) // 2 而非 (left + right) // 2。

---

六、应用场景

• 数据库索引检索
• 游戏中的数值猜测（如猜数字）
• 调试中的“二分注释法”定位 Bug
• 机器学习中的超参数调优