三角函数总结（高数预备知识、博主[亦可呀]原创文章的整理）

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一 、三角函数

1、任意角与弧度制

（1）任意角

一条射线绕着它的端点逆时针旋转而成的角叫正角，相反叫负角，没有旋转的叫零角。
把射线OA围绕端点按不同方向旋转相同的量所形成的的两个角互为相反数。
终边落在哪个象限,就叫第几象限角,落在x,y轴上称为轴线角。
思考:
1.第几象限角能否反应角的大小?
不能, 比如第一象限角可以旋转若干圈回到第一象限

2.与42°角终边相同的角的集合如何表示

{ α | α=42° + 360°k, k ∈ Z}

注意:Z表示整数,包含正负

3.如何表示轴线角的集合

{ α |α=α + 90°k, k ∈ Z}

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例题1: 已知角 α 在如图阴影表示的范围内(不包含边界), 那么角 α的集合是______

答案：
{ α | 45°+360°k< α <150°+360°k , k∈ Z}

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例题2: 将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得到的角度为_____, 将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度为______。

答案：
{-25°+360°k, k ∈ \in ∈ Z}
{35+360°k, k ∈ \in ∈ Z}

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例题4: 若 α是第一象限角, 则α/2 是第几象限___(一,三)___
解:
{α|360°K<α<90°+360°K，K∈Z}
{α/2 |180°K<α/2 <45°+180°K，K∈Z}

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（2）弧度制

弧度制: 把弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制, 它的单位是弧度, 单位符号是rad

把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角
正角的弧度数为正数, 负角的弧度数为负数, 零角的弧度数为0

L为1弧度

（3）弧度制与角度值的换算

360°=2π rad
180°=π rad
90°=π/2 rad
1弧度为 180°/π ≈ 57.3°
弧度的系数*180°=角度（以π/2的转换为例，π/2的系数为1/2）
eg：$$\frac{1}{2}\ast 180°=90°$$

（4）弧长与扇形面积公式

弧长公式: L= α R

扇形面积公式：
$$S=\frac{1}{2}\alpha R^2=\frac{1}{2}LR\text{（由弧长公式代入得到）}$$
推导一:
我们知道圆形的面积公式为πR²
可以看做圆形是由扇形的若干倍组成
$$S=\pi R^2\ast \frac{\alpha }{2\pi }$$

整理得:
$$S=\frac{1}{2}\alpha R^2$$

代入L= αR得
$$S=\frac{1}{2}LR$$

推导二：（微积分思想）
可以把扇形看作是由非常多个小三角形组成

三角形面积公式=1/2 * 底 * 高
由于三角形足够小，底几乎可以看作直线
也就可以把扇形当作三角形
$$S=\frac{1}{2}LR$$

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例题5: 用角度制表示第一象限角的范围______。

答案：
$$\left\{2k\pi \text{，}\frac{\pi }{2}+k\pi \right\}\text{（}k\in Z\text{）}$$

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例题6: 在半径为10的圆中, 240°的圆心角所对弧长为____。

答案：L=αR=40π/3

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例题7: 把下面的弧度化成角度或角度化成弧度。
(1)-450° （-450°/180°）*π= - 5π/2（不知道这里可不可以写成 - π/2）
(2) π/10 （ 1/10）*180°=18°
(3) -4π/3 （ -4/3）*180°=- 240°
(4)112°30’ （112°30’ /180°）*π= 5/8π

角度制中，1°=60′

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例题8: 用弧度制表示阴影部分的集合(不包括边界)
答案：
（1）{-6/π+2kπ，5π/12+2kπ}（k∈Z）
（2）{-3π/4+2kπ，3π/4+2kπ}（k∈Z）
（3）{π/6+kπ，π/2+kπ}（k∈Z）

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例题9: 已知扇形AOB的圆心角为120°, 半径长为6, 求弓形ACB的面积。

解：扇形的面积=$$S=\frac{1}{2}\alpha R^2=\frac{1}{2}\ast \frac{2\pi }{3}\ast 36=12\pi$$

三角形AOB的面积=$$6\sqrt{3}\ast 3\ast \frac{1}{2}=9\sqrt{3}$$

弓形ACB的面积=扇形的面积 - 三角形AOB的面积 =
$$12\pi -9\sqrt{3}$$

（5）小结

2、三角函数的概念

（1）概念与重要公式

三角函数是基本初等函数之一，是以角度（数学上最常用弧度制，下同）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。
这里有两个重要公式：
$$\begin{gathered} sin{\alpha }^2+cos{\alpha }^2=1 \\ \tan x=\frac{\sin x}{\cos x} \end{gathered}$$
由上面两个公式可以推导出cosα与tanα的关系式。
将sinα=tanαcosα代入sin²α+cos²α=1
tan²αcos²α+cos²α=1
cos²α（tan²α+1）=1
由此得出：
$${\cos }^2\alpha =\frac{1}{{\tan }^2\alpha +1}$$

、
正弦函数：y=sinx ； x∈R
余弦函数：y=cosx ； x∈R
正切函数：y=tanx ； {x丨x≠(π/2)+kπ, k∈Z}

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（2）特殊三角函数值：

提示：这图片是我在网上找的，侵删

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例题1: 求5π/3​的正弦, 余弦, 正切值
正弦：$$sin(\frac{5\pi }{3})=sin(-\frac{\pi }{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$
余弦：
$$\cos (\frac{5\pi }{3})=\cos (-\frac{\pi }{3})=\frac{1}{2}$$
正切：
$$\tan (\frac{5\pi }{3})=\tan (-\frac{\pi }{3})=-\sqrt{3}$$

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（3）象限角的三角函数符号

sinx、cosx、tanx在所在的象限里为正——sinx,cosx,tanx（散阔弹）在第一象限里都为正，sinx在第二象限为正，以此类推——一全二散三阔四弹。

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例题6: sinα=1/3，并且α是第二象限角，求cosα，tanα的值。
答案：
$$cos\alpha =-\frac{2\sqrt{2}}{3}；\tan \alpha =-\frac{\sqrt{2}}{4}$$

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例题7: 已知sinα=-3/5，求cosα，tanα的值。
因为没有指定α的象限，而sinα又为负，那么就要考虑三、四象限。
在第三象限：
$$\begin{gathered} \cos \alpha =-\frac{4}{5}\text{ ；} \\ \tan \alpha =\frac{3}{4} \end{gathered}$$
在第四象限：
$$\begin{gathered} \cos \alpha =\frac{4}{5}\text{；} \\ \tan \alpha =-\frac{3}{4} \end{gathered}$$

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（4）小结

注意：我画图时记错了，cosx在第四象限才是正的，tanx在第三象限才是正的。这两需要交换下位置。

3、诱导公式

（这部分听的是B站up主 神奇小猪，小猪老师的课。u1s1对长得帅又温柔的学霸真的毫无抵抗力）
诱导公式分为三部分——

诱导公式一

上面三角函数的概念中我们已经知道，sinx看的是y的值，cosx看的是x的值，tanx看的是sinx除以cosx的值，我们将α看作是锐角，如上图，α与-α互为相反数，而x又看的是y的值，所以sin(-α)=-sinα。
也可以这么理解，sinα只在一二象限才为正，而-α在第四象限，故为负。
cosα在第四象限是正数，所以cos(-α)=cosα。tanα同理。

$$\begin{gathered} \sin \left(-\alpha \right)=-\sin \alpha \\ \cos \left(-\alpha \right)=\cos \alpha \\ \tan \left(-\alpha \right)=-\tan \alpha \end{gathered}$$

此外我们发现了一个问题：sinx，tanx是奇函数，cosx是偶函数。

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例题2: sin(-315°) = _____
答案：
$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$

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诱导公式二

诱导公式三

诱导公式的技巧与方法

诱导公式太多了咋办捏？
1、把所有的α看作是锐角（注意α可以是钝角也可以是负角，把α看作锐角只是单纯的方便，而且对公式不会有任何影响）。
2、万能口诀：奇变偶不变，符号看象限。
首先来解释一下这口诀是什么意思。
$$\sin /\cos /\tan \left(\frac{k\pi }{2}\pm \alpha \right)$$
我们看的奇偶，也就是上面这个公式的k，看k是奇数还是偶数。
举个例子：$$\sin \left(\pi -\alpha \right)=\sin \alpha$$
π是π/2的几倍捏？2倍。那k就是偶数了捏，k是偶数，那sinα就是sinα不会变。那k是奇数咋办呢？看下面。
$$\sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\cos \alpha$$

k=1，sinα就会变成cosα。反之，cosα也会变成sinα。tanα会变成cotα（cotα是tanα的倒数）。
符号看象限的解释可以再看看象限角的三角函数符号那一小节，一全二sin三cos四tan。sin（π-α）的k是偶数，且终边在第二象限，故结果为sinα。
例题：
例题1： 求值tan(-2040°)

$$\begin{gathered} tan(-2040°) \\ =tan(120°-12\pi ) \\ =tan120° \\ =tan(\pi -60°) \\ =tan60° \\ =-\sqrt{3} \end{gathered}$$

例题三：

小结

1、把α看作锐角
2、奇变偶不变，符号看象限

4、三角函数图像

1、正弦函数图像（奇函数）

下面这道题是一数哥讲的，好厉害啊，头一次知道这种函数的图像还可以叠加……（悄悄震惊一下，可以忽略俺~）当初高考的时候咋就没看见一哥的视频呢……

2、余弦函数图像（偶函数）

例题

3、正切函数图像（奇函数）

（1）由诱导公式tan(x+π)=tanx，x∈R，且x≠π/2+kπ，k∈z可知tanx的周期为π。
（2）又由tan（-x）=-tanx，x∈R，且x≠π/2+kπ，k∈z可知tanx为奇函数。

4、函数的周期性

一般地, 对于函数f(x), 如果存在一个非零常数T, 使得当x取定义域内的每一个值, 都有f(x+T) = f(x)
那么函数f(x)就叫做周期函数, 非零常数T叫做这个函数的周期

如果在周期函数f(x)的所有周期函数中存在一个最小的正数, 那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期
比如: f(x) = f(x+2π) + f(x+4π)…
最小正周期为2π

例3: 若函数f(x)满足f(x-2) = f(x+3), 且f(2)=5, 求f(-3)
当x为-1时, f(-3) = f(2) = 5

5、三角函数的周期性

正弦函数是周期函数, 2kπ (k ∈ \in ∈z, 且k≠0)都是它的周期, 最小正周期是2π, 类似地, 余弦函数的周期最小正周期也是2π。
由图可见, y= sin2x相当于y= sinx压缩了, 周期变为π
由图可见, y= sin1/2x相当于y= sinx拉伸了, 周期变为4π
据上面的推测——我们将函数规范化：y=Asin（wx+φ）
由上可得三角函数最小正周期为
$$T=\frac{2\pi }{|w|}$$

6、三角函数的奇偶性

记住口诀：把奇函数当成负数，奇加减偶除外
奇+奇=奇，奇-奇=奇
奇×奇=偶，奇/奇=偶
偶+偶=偶，偶-偶=偶
偶×偶=偶，偶/偶=偶
奇+偶，无法直接判断
奇-偶，无法直接判断
奇×偶=奇
奇÷偶=奇

7、小结

5、三角恒等变换公式

知识架构