不同路径 leetcode 62

题目

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 ，起始点在下图中标记为 “Start”
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角，问总共有多少条不同的路径？
示例 1：
输入：m = 3, n = 7
输出：28
示例 2：
输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1.向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下
示例 3：
输入：m = 7, n = 3
输出：28
示例 4：
输入：m = 3, n = 3
输出：6
提示：
1 <= m, n <= 100
题目数据保证答案小于等于 2 * 10⁹

思路

1. 后方数据依赖前方数据，使用动态规划解题
2. 创建dp表：新建二维dp[ ][ ]表，横坐标为i，纵坐标为j。dp[i][j]表示：走到[i][j]位置时，有多少方式
3. 确定状态转移方程：以最近的一步划分问题，到达[i][j]位置的方法有从[i - 1][j]向右走一步，以及从[i][j - 1]向下走一步这两种方法。确定状态转移方程为：dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]
4. 初始化dp表:防止越界
5. 确定填表顺序：从上往下，从左往右
6. 确定返回值

要点

1. 初始化的位置
   要保证dp[][]表不越界，需要初始化第一整行和第一整列
2. 初始化过于复杂？

• 在动态规划问题中，解决初始化复杂通常的方法是添加虚拟节点
• 本题中需要保证不越界，需要添加一整行和一整列虚拟节点，数组开辟长度行数、列数+1
• 虚拟节点的值需要保证之后的节点值不受影响，只需要保证首行和首列交叉处的上方或者左方任一一个位置的值为1即可
• 当加入虚拟节点时，状态转移方程的返回值刚好为dp[m][n]
  
  

代码

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];  //需访问索引[m][n],数组长度需要+1
        dp[1][0] = 1;

        for(int i = 1;i <= m;i ++){
            for(int j  =1;j <= n;j ++){    //从[1][1]开始填表
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
}