量子计算（5）基础知识3：量子逻辑门（下）

计算机鬼才～

已于 2023-05-08 22:07:15 修改

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分类专栏：量子计算文章标签：量子计算

于 2023-01-10 01:02:03 首次发布

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一、受控U门

1、证明

在上一篇文章的结尾，我们讲到为了后续内容，希望大家私底下自行证明一个重要结论：

设U是作用在单良子比特上的一个酉门，则单量子比特上存在酉算子A,B,C使得ABC=I且U= $e^{i\alpha }$ AXBXC，其中 $\alpha$ 为某个全局相位因子。

现在它的证明方法来啦！

首先，我们要讲解单量子比特的Z-X分解：假设U是单量子比特上的酉操作，存在实数 $\alpha$ 、 $\beta$ 、 $\gamma$ 和 $\delta$ 使得 $U=e^{i\alpha }R_{z}(\beta )R_{y}(\gamma )R_{z}(\delta )$ 。也就是说，我们能找到一个酉矩阵满足是由旋转Z门和旋转Y门构成的。且先由旋转Z门旋转角度 $\beta$ ，再由旋转Y门旋转角度 $\gamma$ ，最后再由旋转Z门旋转角度 $\delta$ 。

这个好办，我们学习过旋转Z门和旋转Y门的矩阵表达式，只需要我们把式子右端这些旋转门矩阵相应的乘起来，再看看得到的最终矩阵是不是酉矩阵，就能证明出单量子比特的Z-X分解的合理性。这里省略掉计算，我们直接上最终结果：

$U=\begin{pmatrix} e^{i(\alpha -\frac{\beta }{2}-\frac{\delta }{2})}cos\frac{\gamma }{2} &-e^{i( -\frac{\beta }{2}+\frac{\delta }{2})}sin\frac{\gamma }{2} \\ e^{i( \frac{\beta }{2}-\frac{\delta }{2})}sin\frac{\gamma }{2}& e^{i(\alpha +\frac{\beta }{2}+\frac{\delta }{2})}cos\frac{\gamma }{2} \end{pmatrix}$

接着，我们根据酉矩阵的性质判定是否满足 $U\cdot U^{\dagger }=I$ 。经计算，满足！

那么，我们可以令A= $R_{z}(\beta )\cdot R_{y}(\frac{\gamma }{2})$ ,B= $R_{y}(-\frac{\gamma }{2} )\cdot R_{z}(\frac{-(\delta +\beta) }{2})$ ,C= $R_{z}(\frac{\delta -\beta }{2})$ ,不难发现ABC=I（脑补一下，一个球先绕Z轴逆时针旋转 $\beta$ ，再绕y轴逆时针旋转 $\frac{\gamma }{2}$ ，再绕y轴顺时针旋转 $\frac{\gamma }{2}$ ，然后绕z轴顺时针旋转 $\frac{\delta +\beta }{2}$ ，最后绕z轴逆时针旋转 $\frac{\delta -\beta }{2}$ 不就是自己本身吗？而矩阵中相乘仍然表示自己本身的矩阵不就是单位矩阵I吗？）

利用X门矩阵相乘为单位阵，以及 $X\cdot R_{y}(\theta )\cdot X=R_{y}(-\theta )$ 可知，

$X\cdot B\cdot X=X\cdot R_{y}(-\frac{\gamma }{2})\cdot X\cdot X\cdot R_{z}(-\frac{\delta +\beta }{2})\cdot X=R_{y}(\frac{\gamma }{2})\cdot R_{z}(\frac{\delta +\beta }{2})$

这意味着AXBXC= $R_{z}(\beta )R_{y}(\gamma )R_{z}(\delta )$ ，即ABC=I且U= $e^{i\alpha }$ AXBXC。

2、受控U门的量子电路构造

相信不少同学又要有疑问了：小编，你讲了这么多，我们虽然知道了这个结论，但这结论有啥用吗，反正我是百思不得其解。

别急别急，它的最大的用处，就是帮助我们构造受控U门的电路。

众所周知，我们知道最简单的酉矩阵为 $\begin{pmatrix} e^{i\alpha }&0 \\ 0 &e^{i\alpha } \end{pmatrix}$ ，我们根据多比特量子门的性质，乘一下，发现它的真值表如下：

\|00>	\|00>
\|01>	\|01>
\|10>	$e^{i\alpha }$ \|10>
\|11>	$e^{i\alpha }$ \|11>

所以相当于那么控制比特乘上矩阵 $\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0 & e^{i\alpha } \end{pmatrix}$ ，大家可以自己验证一下。

显然构造没有这么简单，我们期待的是，将目标比特乘上 $e^{i\alpha }$ ，而不是控制比特，否则这样会失去“控制”的效果，变得华而不实。

其实根据我们刚刚的结论，我们可以这么想：如果控制比特为|0>，就进行ABC=I的运算，也就是对这条电路不起作用，相反如果控制比特为|1>，就进行U= $e^{i\alpha }$ AXBXC运算。

X为非门，为了显示“控制”，所以使用的是受控非门CNOT门，这一点大家应该能够理解，就不过多解释了。

二、SWAP门

你是否还在为两个比特不能转换而发愁？你是否在制作量子电路时发现：明明第一条线路为|1>更好，第二个线路为|0>更好，但是这俩就是反着来？

它来了它来了，它带着礼物走来了，它来了它来了，它脚踏祥云进来了！有请我们的重量级嘉宾：SWAP门、sqiSWAP与iSWAP门。

由刚刚的说辞，我们可以发现，SWAP门、sqiSWAP门与iSWAP门的主要作用是交换两个比特的状态。但是天下怎么可能白掉馅饼，它的代价是iSWAP门被赋予了 $\frac{\pi }{2}$ 相位。iSWAP门在某些体系中是比较容易实现的两比特逻辑门，他是由泡利X矩阵和泡利Y矩阵作为生成元生成，需要将矩阵对角化，它的矩阵表示如下：

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0& 0\\ 0& cos\theta &isin\theta & 0\\ 0& isin\theta & cos\theta & 0\\ 0&0 &0 &1 \end{pmatrix}$

感兴趣的同志们可以试一下，是不是实现了交换，且获得了相应的相位。

而sqiSWAP门获得的是 $\frac{\pi }{4}$ 的相位，其矩阵表达式为： $\begin{pmatrix} 1& 0 &0 &0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{i}{\sqrt{2}} &0 \\ 0 & -\frac{i}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\ 0 & 0 & 0 &1 \end{pmatrix}$

而SWAP门就简单多了，它没有获得 $\frac{\pi }{2}$ 的相位，其矩阵表达式为：

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &0 \\ 0& 0 & 1&0 \\ 0 & 1& 0 & 0\\ 0& 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

三、Toffoli门

我们已经学习了如何通过单量子比特来设定条件，那么，如何在多量子比特上设定条件呢？我们先构造一个Toffoli门，也就是当前两个量子比特（控制比特）都为1时，才会翻转第三个量子比特（目标量子比特）。

大家可以看结果前自己算一算，想一想，如何实现这种操作的矩阵。

答案是 $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0& 0 & 0&0 \\ 0& 1&0 & 0 &0 &0 &0 &0 \\ 0 & 0 & 1& 0 & 0 & 0&0 &0 \\ 0 & 0 & 0 & 1& 0 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1& 0 &0 &0 \\ 0 & 0 &0 &0 &0 & 1 & 0 &0 \\ 0&0 &0 & 0 & 0& 0 & 0&1 \\ 0 &0 & 0 &0 & 0 & 0&1 & 0 \end{pmatrix}$ ，是不是感觉这个矩阵超级大，毕竟是三量子比特的，至少维度是个2乘2乘2的矩阵。