图的邻接矩阵存储法详解与C++实现

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#数据结构 #图论 #算法

于 2023-07-22 22:14:32 首次发布

本文介绍了图的邻接矩阵存储方法，包括其优缺点，并提供了C++实现图的邻接矩阵存储的代码示例，涵盖初始化图、添加删除边、获取权重值等基本操作。

简介：
在图论中，图是一种重要的数据结构，用于表示各种实际问题中的关系和连接。图的存储是图算法的基础，本文将详细介绍图的邻接矩阵存储法，以及使用C++语言实现该存储结构的方法。

1. 什么是图？

2. 图的邻接矩阵存储法简介

3. 邻接矩阵存储法的优缺点

4. C++实现图的邻接矩阵存储法及其基本操作

4.9 求图中顶点x的除y以外的下一个邻接点（y是x的邻接点）

4.10 示例与测试

5. 总结

1. 什么是图？

图是由节点（顶点）和节点之间的连接（边）组成的一种非线性数据结构。图可以用来表示许多实际问题，如社交网络中的用户关系、地图中的城市道路、计算机网络中的节点通信等。

2. 图的邻接矩阵存储法简介

邻接矩阵是一种常见的图的存储方法，用二维数组表示图中各个顶点之间的连接关系。如果有n个顶点，那么邻接矩阵就是一个n x n的二维数组，其中adj_matrix[i][j]表示顶点i与顶点j之间的边的情况。如果顶点i与顶点j相邻接，则adj_matrix[i][j]的值为1或边的权重值；如果不相邻接，则adj_matrix[i][j]的值为0或表示无穷大。

3. 邻接矩阵存储法的优缺点

优点：
适用于稠密图，当图的边数接近完全图n(n-1)/2时，邻接矩阵存储法的空间利用率较高。
判断两个顶点是否相邻的操作高效，时间复杂度为O(1)。

缺点：
对于稀疏图，邻接矩阵会占用大量的存储空间，空间复杂度为O(n^2)。
添加和删除边时可能需要额外操作来维护对称性（对于无向图）。

4. C++实现图的邻接矩阵存储法及其基本操作

4.1 图的数据结构定义

我们可以使用C++中来表示图的邻接矩阵存储法。以下是图的结构体定义：

#define MAX_VERTICES 100        //顶点数目最大值
typedef char VertexType;        //顶点的数据类型
typedef int EdgeType;           //带权图中边上权值的数据类型
struct Graph{
    int num_vertices, num_edge;           // 图当前顶点和边的数量
    VertexType vex[MAX_VERTICES];        //顶点表
    EdgeType adj_matrix[MAX_VERTICES][MAX_VERTICES]; // 邻接矩阵，边表
};

4.2 初始化图

//初始化
void init_graph(Graph* graph, int num_vertices) {
    graph->num_vertices = num_vertices;
    graph->num_edge = 0;
    // 初始化邻接矩阵，初始值都为0（表示没有边）
    for (int i = 0; i < num_vertices; ++i) {
        //顶点数据赋值
        graph->vex[i] = 'a' + i;

        //邻接矩阵初始化
        for (int j = 0; j < num_vertices; ++j) {
            graph->adj_matrix[i][j] = 0;
        }
    }
}

4.3 判断是否存在边（两个顶点相邻）

bool is_edge(Graph* graph, int source, int destination) {
    //有向图
    return graph->adj_matrix[source][destination] != 0;
}

4.4 添加边与删除边

添加边与删除边的操作分别是add_edge和remove_edge方法。对于无向图，添加边时需要设置对称位置。添加和删除前应该先判断边是不是存在。

// 添加边，将邻接矩阵中对应的位置设为1（或边的权重值）
void add_edge(Graph* graph, int source, int destination, int weight) {
    if (!is_edge(graph, source, destination)) {//不存在要添加的这条边