最优化方法实验一--线性方程组求解

一、 实验目的与要求

1.掌握高斯消元法求解线性方程组；

2.掌握Matlab编写代码，熟悉其画图工具，进行实验，并验证结果；

3.锻炼数学描述能力，提高报告的书写能力。 

二、 问题

三、模型建立及求解

 1、定理

根据线性代数知识，引入以下定理：

定理1：一n阶方阵A可逆的充分必要条件为

定理2：若一方阵可逆，则其逆矩阵唯一

定理3：将一个线性方程组的增广矩阵施行一系列初等行变换后得到的矩阵作为增广矩阵，其对应的线性方程组与原方程组同解

定理4：将行列式的任意倍加到另一行上，行列式的值不变

定理5：若一n阶方阵A是可逆的，则对于A和其逆矩阵有：，其中为n阶单位矩阵

2、高斯消元法求解

2.1高斯消元法思想

        根据定理1可知，当，A是可逆的，对于线性方程组Ax=b，可写成，又根据定理2，线性方程组有唯一解。在此不妨设。

        设矩阵A及其和向量b组成的增广矩阵分别为：

      

对进行初等行变换，由于，所以矩阵每一列都至少有一个元素不为0。不妨假设，定义行乘数：。而后根据定理3，可进行初等行变换，使第i行减去第一行乘以的值，即：