2.1进位计数制

一、数制

进制：进位计数制，是指用进位的方法进行计数的数制。

数码：是用来表述数的符号。如十进制的0、1、2、3、4、5、6、7、8、9

基数：数码的个数称为"基数"或"基"，通常用R表示，称为R进制。

位权：数码在不同位置上的权值。如：十进制的164，1的权值为10²，6的 权值为10的一次方，4的权值为10的零次方。

数制的表示方法：下标表示法：二进制（）2     八进制（）8      十进制（）10    十六进制（）16

                              后缀表示法：二进制B       八进制O       十进制D      十六进制H        如：011H

1、二进制、八进制、十六进制转化为十进制

即不同位置上的数与其权值的乘积之和

☆为什么计算机会使用二进制来存储和运算？

答：①可使用两个稳定状态的物理器件表示。

②0,1正好对应逻辑值的真、假，方便实现逻辑运算。

③可很方便地使用逻辑门电路实现算术运算。

2、十进制转化为二进制、八进制、十六进制

上图解释：十进制转化为二进制，整数部分就是将一个数不断除2，除到0，其余数从下往上组成整数部分的二进制数。小数部分就是将十进制的小数不断乘2直到结果为0（若结果一直不为0，那就截取适当位的小数），将小数乘2过程中产生的整数部分取出，从上往下读组成二进制数。

注意：十进制的整数都可以使用二进制完全表示，但是十进制的小数有的不能使用二进制完全表示。如：0.3

八进制和十六进制的与二进制的做法相同，只不过将除数和乘数换成对应的基数。

3、二进制、八进制、十六进制之间的转换

二进制中 1000表示8，10000表示16

因此二进制转换为八进制的方法为：整数部分从右边开始，每三个一组，转化为八进制，若最左边不足三位，则补零，小数部分从左边开始，每三个一组，转化为八进制，若最右边不足三位，则补零。如下：

对1011 1101.1001进行转换（绿色背景为补的零，三个一组）

01011 1101.100100    

2      7     5  .  4     4       

八进制转换为二进制，只需要反过来 

 2          7           5        .     4         4

 010      111         101    .    100     100                                                    

二进制转换为十六进制的方法为：整数部分从右边开始，每四个一组，转化为十六进制，若最左边不足四位，则补零，小数部分从左边开始，每四个一组，转化为十六进制，若最右边不足四位，则补零。如下：

对1011 1101.10010进行转换（绿色背景为补的零，四个一组）

1011 1101.1001 0000    

B         D    .  9    .  0

十六进制转换为二进制，只需要反过来

 B               D      .       9      .      0

 1011       1101   .      1001        0000

4、真值与机器数

真值：有正负号，人们日常写的数。

机器数：将正负号数字化的数，机器中使用的数。

二、定点数的编码

1、定点数与浮点数

定点数：小数点的位置固定。

浮点数：小数点的位置不固定。（像十进制中的科学计数法，有阶码）

2、无符号数

无符号数：整个机器字长的所有二进制位都是数值位，没有符号位的数。

表示范围：n位无符号数表示范围为，0~2^n-1

注意：通常只有无符号整数，没有无符号小数。

3、有符号数的定点表示

注意：可以使用原码、反码、补码来表示定点整数和定点小数，还可以使用移码来表示定点整数。

①原码

原码：用尾数表示真值的绝对值，符号位的01表示正负。

表示范围：若机器字长为n+1位，则尾数占n位。整数表示范围为，-（2^n-1）~2^n-1。小数表示范围为，-（1-2^(-n)）~1-2^(-n)。

注意：1,0010011表示-19D，1.1100000表示-0.75D。注意看，符号位和数值位分割时，整数用的逗号，小数用的点。

☆真值0有+0和-0两种形式。

②反码

反码：若符号位为0，则反码与原码相同。若符号位为1，则数值位全部取反。

表示范围：若机器字长为n+1位，则尾数占n位。整数表示范围为，-（2^n-1）~2^n-1。小数表示范围为，-（1-2^(-n)）~1-2^(-n)。

☆真值0有+0和-0两种形式。

③补码

补码：正数的补码=原码，负数的补码=反码末位+1

表示范围：若机器字长为n+1位，则尾数占n位。整数表示范围为，-2^n~2^n-1。小数表示范围为，-1~1-2^(-n)。

注意：规定补码1,0000000表示-2^7，规定补码1.0000000表示-1

☆真值0只有一种表示形式。

将补码->原码的方法：尾数取反，末位+1

④移码（只能用于表示整数）

移码：在补码的基础上，将符号位取反

表示范围：若机器字长为n+1位，则尾数占n位。整数表示范围为，-2^n~2^n-1

☆真值0只有一种表示形式。

作用：将移码所有二进制位看做无符号数，当真值增大的时候，移码对应的无符号数也是递增的。所以，移码表示的整数很方便对比大小。

⑤例子演示

以-19为例！

原码：1,0010011

反码：1,1101100

补码：1,1101101

移码：0,1101101

三、各种码的作用（补充）

我们要计算一个正数和一个负数的加法时，如果我们使用原码进行计算，那么结果是不正确的。所以，如果我们要让计算机算对，那么就需要在ALU中集成减法器和加法器。而减法器比加法器更复杂且所需成本更多。

如：计算-14和+14相加，原码二进制为00001110和10001110的加法，正确的结果是0，而用原码直接相加，结果是错误的。

如果，可以使用加法代替减法，那么就不需要在ALU中集成减法器，降低了成本。在数论中如果满十进一，那么9-3与（9+7）mod10的结果相同。而机器字长是固定的，这就天然的进行了取模运算。所以，只需要找到-3的补数，即与-3相加为10的数，代替-3，那么结果还是一样的。而这个数，就是-3的补码。所以当我们再去运算减法时，就可以当做加法运算。

这就是补码的作用：将减法用加法等效替换。

所以在运算时，将所有位相加，就是正确的结果。而无符号数的运算，将所有位相加也是正确的结果。所以不论是有符号数还是无符号数，运算都统一了。

如：计算-14和+14相加，补码二进制为00001110和11110010，结果为0。

四、C语言中的强制类型转换

注意：C语言中定点整数是用“补码”存储的。

无符号数与有符号数之间的转换：不改变数据内容，改变解释方式。

长整型变短整型：高位截断，保留低位。

短整型变长整形：符号扩展（有符号数进行符号扩展，无符号数零扩展）

☆什么情况下需要进行数据扩展？

①ALU的位数是固定的，所以在运算前，都需要将数据的尾数扩展到与ALU位数相同。

②寄存器的位数也是固定的，所以将数据存入寄存器时，也需要将数据扩展到与寄存器位数相同。

③主存中各个数据的长度不一定相同，所以，有时候需要进行数据的扩展。