数据结构中有关图的应用这一节的重点汇总

一:最小生成树

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​​​​​最小生成树指的是对于一个带权连通无向图而言，生成树不同，则其权值不同（树中边上的权值之和）。若这课树中边上的权值之和最小，那么就称这课树为最小生成树。

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最小生成树的性质

最小生成树并不唯一（树形不唯一）。

注:当图G中的各边权值互不相等时，G的最小生成树是唯一存在的，但是最小生成树的权值唯一（且是最小）。

最小生成树的算法

最小生成树的算法主要有Prim算法以及Kruskal算法（均基于贪心算法）

首先介绍Prim算法

可以简记为通过点来求解，主要有三个步骤

• 找距离最短的点
• 连接节点
• 重复上述步骤

 上图为prim算法构造最小生成树过程

prim算法的时间复杂度为O(|V|^2)，不依赖边，适合求解边稠密的图的最小生成树。

Kruskal算法

简记为通过边来求解，也是三步

• 找最短边
• 连接节点
• 重复上述步骤

上图为kruskal算法构造最小生成树过程

在kruskal算法中，采用堆来存放边的集合，姑每次选择最小权值的边只需要O(log2|E|)的时间，构造整个生成树的时间复杂度为O(|E|log2|E|)，此算法适合于边稀疏而定点多的图。

注意:两种算法在构造树的过程中均不能形成闭环（回路）。

二:最短路径

定义:带权路径长度最短的那条路径称为最短路径。

最短路径的求法:

1. 经典的Dijkstra（迪杰斯特拉）算法
2. Floyd（弗洛伊德）算法

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 直接上图较为清晰

书上步骤比较繁琐，下面我将根据我个人的理解来讲解下。

首先画一个表格将定点数值写在纵坐标一栏，横坐标写的是经过查找最小路径的次数（轮数）；从顶点出发依次找其到各个定点的距离（权值），能直接相连的就直接写边上的数值，也就是权值，如果不能直接相连的就代表其不能直接抵达，先写∞，然后从中找出最小的路径长度，将其视为下一轮的路径标准，重复此步骤，直到找完所有经过的最短路径。

至于Floyd算法和后续的拓扑排序以及关键路径的求解下一次再做总结，这节先讲到这里。

注:如有讲的不好，还请多多指教，期待交流探讨！